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Exercise:
Sei n in mathbbN_ und seien fg in mathbbCx zwei Polynome mit Grad kleiner gleich n die auf mehr als n Punkten übereinstimmen das heisst fxgz gilt für mehr als n Punkte x in mathbbC. Zeigen Sie dass dies fg impliziert.

Solution:
Beweis. Man definiere das Polynom h : f-g in mathbbCx. Da f und g auf mehr als n Punkten übereinstimmt folgt dass h mehr als n Nullstellen hat. Man behauptet nun dass dies h impliziert. Lemma. Sei f in mathbbCx ein Polynom s.d. f neq und textdegfn. Dann hat f höchstens n Nullstellen. Beweis. Seien x_...x_m in mathbbC die Nullstellen von f. Zu zeigen: m leq n. Aus der Vorlesung ist bekannt dass f durch x-x_i für alle i...m teilbar ist. Das heisst dass q in mathbbCx mit q neq existiert s.d. f q x-x_...x-x_m. Dann ist textdegqtextdegf-textdegx-x_...x-x_m n-m. Da textdegqgeq folgt m leq n. Es folgt aus dem Lemma dass h und somit auch fg gilt.
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Sei n in mathbbN_ und seien fg in mathbbCx zwei Polynome mit Grad kleiner gleich n die auf mehr als n Punkten übereinstimmen das heisst fxgz gilt für mehr als n Punkte x in mathbbC. Zeigen Sie dass dies fg impliziert.

Solution:
Beweis. Man definiere das Polynom h : f-g in mathbbCx. Da f und g auf mehr als n Punkten übereinstimmt folgt dass h mehr als n Nullstellen hat. Man behauptet nun dass dies h impliziert. Lemma. Sei f in mathbbCx ein Polynom s.d. f neq und textdegfn. Dann hat f höchstens n Nullstellen. Beweis. Seien x_...x_m in mathbbC die Nullstellen von f. Zu zeigen: m leq n. Aus der Vorlesung ist bekannt dass f durch x-x_i für alle i...m teilbar ist. Das heisst dass q in mathbbCx mit q neq existiert s.d. f q x-x_...x-x_m. Dann ist textdegqtextdegf-textdegx-x_...x-x_m n-m. Da textdegqgeq folgt m leq n. Es folgt aus dem Lemma dass h und somit auch fg gilt.
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Attributes & Decorations
Tags
analysis, beweis, eth, hs22, polynom, proof
Difficulty
(3, default)
Points
0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Proof
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