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Exercise:
a in mathbbK ist genau dann eine Nullstelle von f in mathbbKx falls f durch das Polynom x mapsto x-a teilbar ist d.h. wenn es ein Polynom q in mathbbKx gibt s.d. fx x-aqx für alle x in mathbbK.

Solution:
Beweis. itemize item Falls fxx-aqx dann fa item fa; Division mit Rest mit gxx-a fxqxx-a+rx wobei degr degg r ist konstant aber da fa ist die Konstante. itemize Longrightarrow Eine Polynomfunktion von Grad n geq hat höchstens n Nullstellen. Für n f:xrightarrow c neq konstant keine Nullstellen. Falls degfn geq dann hat f entweder keine Nullstellen oder fx x-aqx. Nach Induktion hat q höchstens n- Nullstellen da degqn-.
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a in mathbbK ist genau dann eine Nullstelle von f in mathbbKx falls f durch das Polynom x mapsto x-a teilbar ist d.h. wenn es ein Polynom q in mathbbKx gibt s.d. fx x-aqx für alle x in mathbbK.

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Beweis. itemize item Falls fxx-aqx dann fa item fa; Division mit Rest mit gxx-a fxqxx-a+rx wobei degr degg r ist konstant aber da fa ist die Konstante. itemize Longrightarrow Eine Polynomfunktion von Grad n geq hat höchstens n Nullstellen. Für n f:xrightarrow c neq konstant keine Nullstellen. Falls degfn geq dann hat f entweder keine Nullstellen oder fx x-aqx. Nach Induktion hat q höchstens n- Nullstellen da degqn-.
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Attributes & Decorations
Tags
analysis, beweis, eth, hs22, nullstelle, polynom, proof
Difficulty
(3, default)
Points
0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Proof
Decoration
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