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Exercise:
Sei I ein offenes Intervall und f:I rightarrow mathbbR eine stetige Abbildung. Sei x_ in I so dass fx_ neq gilt. Beweisen Sie dass es ein delta gibt s.d. fy neq für alle y in x_-deltax_+delta gilt.

Solution:
Beweis. Da f bei x_ stetig ist gilt dass für alle epsilon ein delta existiert s.d. für alle x in I mit |x-x_| delta |fx-fx_| epsilon gilt. Weiter gelten: abcliste abc |x-x_| delta ist äquivalent zu x in x_-delta x_+delta abc |fx-fx_| epsilon ist äquivalent zu fx in fx_-epsilon fx_+epsilon abcliste Man setzt epsilon : frac|fx_|. Bemerke: epsilon und notin fx_-epsilonfx_+epsilon. Da f bei x_ stetig ist und da epsilon ist existiert nach Definition der Stetigkeit ein delta s.d. für alle x in x_-deltax_+delta fxin fx_-epsilonfx_+epsilon folgt. Da notin fx_-epsilonfx_+epsilon ist die Behauptung bewiesen.
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Sei I ein offenes Intervall und f:I rightarrow mathbbR eine stetige Abbildung. Sei x_ in I so dass fx_ neq gilt. Beweisen Sie dass es ein delta gibt s.d. fy neq für alle y in x_-deltax_+delta gilt.

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Beweis. Da f bei x_ stetig ist gilt dass für alle epsilon ein delta existiert s.d. für alle x in I mit |x-x_| delta |fx-fx_| epsilon gilt. Weiter gelten: abcliste abc |x-x_| delta ist äquivalent zu x in x_-delta x_+delta abc |fx-fx_| epsilon ist äquivalent zu fx in fx_-epsilon fx_+epsilon abcliste Man setzt epsilon : frac|fx_|. Bemerke: epsilon und notin fx_-epsilonfx_+epsilon. Da f bei x_ stetig ist und da epsilon ist existiert nach Definition der Stetigkeit ein delta s.d. für alle x in x_-deltax_+delta fxin fx_-epsilonfx_+epsilon folgt. Da notin fx_-epsilonfx_+epsilon ist die Behauptung bewiesen.
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Attributes & Decorations
Tags
analysis, beweis, eth, hs22, proof, stetigkeit
Difficulty
(4, default)
Points
0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Proof
Decoration
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