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Exercise:
Zeigen Sie: textsup-A -textinfA

Solution:
Für alle x in A gilt textinfA leq x. Multiplikation der Ungleichung mit - ergibt -x leq -textinfA. Da alle Elemente von -A von dieser Form sind ist -textinfA eine obere Schranke für -A. Da jedoch das Supremum von -A die kleinste obere Schranke ist folgt textsup-A leq -textinfA. Sei nun epsilon gegeben. Nach der Definition des Infimums ist textinfA+epsilon dann keine untere Schranke von A. Das bedeutet dass ein x in A existiert s.d. x textinfA+epsilon. Multipliziert man diese Ungleichung mit - so erhält man -x -textinfA-epsilon. Es ist aber -x ein Element in -A also kann -textinfA-epsilon keine obere Schranke von -A sein. Da das epsilon beliebig gewählt wurde folgt textsup-A -textinfA.
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Für alle x in A gilt textinfA leq x. Multiplikation der Ungleichung mit - ergibt -x leq -textinfA. Da alle Elemente von -A von dieser Form sind ist -textinfA eine obere Schranke für -A. Da jedoch das Supremum von -A die kleinste obere Schranke ist folgt textsup-A leq -textinfA. Sei nun epsilon gegeben. Nach der Definition des Infimums ist textinfA+epsilon dann keine untere Schranke von A. Das bedeutet dass ein x in A existiert s.d. x textinfA+epsilon. Multipliziert man diese Ungleichung mit - so erhält man -x -textinfA-epsilon. Es ist aber -x ein Element in -A also kann -textinfA-epsilon keine obere Schranke von -A sein. Da das epsilon beliebig gewählt wurde folgt textsup-A -textinfA.
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Attributes & Decorations
Tags
analysis, beweis, eth, hs22, infimum, proof, supremum
Difficulty
(2, default)
Points
0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Proof
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