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Exercise:
Es seien die drei Folgen b_n leq a_n leq c_n gegeben. Falls b_n und c_n konvergent sind mit lim limits_n rightarrow infty b_n lim limits_n rightarrow infty c_n L so ist auch a_n konvergent und lim limits_n rightarrow infty a_n L

Solution:
Die Folgen b_n und c_n sind konvergent mit Grenzwert L d.h. forall epsilon exists N_ in mathbbN: forall n geq N_: L-epsilon b_n L+epsilon und forall epsilon exists N_ in mathbbN: forall n geq N_: L-epsilon c_n L+epsilon Diese beiden Bedingungen kann man nun kombinieren. Dafür setzt man N : textmaxN_ N_ damit man sicher ist dass für alle n geq N beide Aussagen gleichzeitig gelten. Für alle n geq N gilt somit L-epsilon b_n leq a_n leq c_n L+epsilon Rightarrow L-epsilon a_n L+epsilon Das ist die Defiion der Konvergenz der Folge a_n. Die Folge a_n ist somit konvergent mit Grenzwert L.
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Es seien die drei Folgen b_n leq a_n leq c_n gegeben. Falls b_n und c_n konvergent sind mit lim limits_n rightarrow infty b_n lim limits_n rightarrow infty c_n L so ist auch a_n konvergent und lim limits_n rightarrow infty a_n L

Solution:
Die Folgen b_n und c_n sind konvergent mit Grenzwert L d.h. forall epsilon exists N_ in mathbbN: forall n geq N_: L-epsilon b_n L+epsilon und forall epsilon exists N_ in mathbbN: forall n geq N_: L-epsilon c_n L+epsilon Diese beiden Bedingungen kann man nun kombinieren. Dafür setzt man N : textmaxN_ N_ damit man sicher ist dass für alle n geq N beide Aussagen gleichzeitig gelten. Für alle n geq N gilt somit L-epsilon b_n leq a_n leq c_n L+epsilon Rightarrow L-epsilon a_n L+epsilon Das ist die Defiion der Konvergenz der Folge a_n. Die Folge a_n ist somit konvergent mit Grenzwert L.
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Attributes & Decorations
Tags
analysis, beweis, eth, folge, grenzwert, hs22, proof, sandwich
Difficulty
(3, default)
Points
0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Proof
Decoration
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