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https://texercises.com/exercise/divergenz-folge-1n/
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Exercise:
Zeigen Sie dass -^n keinen Grenzwert für n rightarrow infty besitzt d.h. divergent ist.

Solution:
Angenommen dass a_n-^n einen Grenzwert L für n rightarrow infty besitzt d.h. forall epsilon exists N in mathbbN: forall n geq mathbbN: |a_n-L| epsilon Da alle geraden n a_n gilt muss insbesondere gelten forall epsilon exists N in mathbbN: forall n geq mathbbN: |-L| epsilon Der Ausdruck |-L| hängt aber nicht von n ab sodass die obige Bedingung äquivalent zu forall epsilon : |-L| epsilon ist. Dies bedeutet L weil L die einzige Zahl ist für welche |-L| kleiner als jede positive Zahl epsilon ist. Andererseits ist a_n - für alle ungeraden n. Es muss also auch Folges gelten forall epsilon exists N in mathbbN: forall n geq mathbbN: |--L| epsilon Der Ausdruck |--L| hängt aber nicht von n ab sodass die obige Bedingung äquivalent zu forall epsilon : |--L| epsilon ist. Dies impliziert L -. a_n_n -^n besitzt somit zwei unterschiedliche Grenzwerte: L_ und L_ -. Da Grenzwerte eindeutig sind ist dies unmöglich. Somit besitzt a_n -^n keinen Grenzwert.
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Zeigen Sie dass -^n keinen Grenzwert für n rightarrow infty besitzt d.h. divergent ist.

Solution:
Angenommen dass a_n-^n einen Grenzwert L für n rightarrow infty besitzt d.h. forall epsilon exists N in mathbbN: forall n geq mathbbN: |a_n-L| epsilon Da alle geraden n a_n gilt muss insbesondere gelten forall epsilon exists N in mathbbN: forall n geq mathbbN: |-L| epsilon Der Ausdruck |-L| hängt aber nicht von n ab sodass die obige Bedingung äquivalent zu forall epsilon : |-L| epsilon ist. Dies bedeutet L weil L die einzige Zahl ist für welche |-L| kleiner als jede positive Zahl epsilon ist. Andererseits ist a_n - für alle ungeraden n. Es muss also auch Folges gelten forall epsilon exists N in mathbbN: forall n geq mathbbN: |--L| epsilon Der Ausdruck |--L| hängt aber nicht von n ab sodass die obige Bedingung äquivalent zu forall epsilon : |--L| epsilon ist. Dies impliziert L -. a_n_n -^n besitzt somit zwei unterschiedliche Grenzwerte: L_ und L_ -. Da Grenzwerte eindeutig sind ist dies unmöglich. Somit besitzt a_n -^n keinen Grenzwert.
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Attributes & Decorations
Tags
analysis, beweis, divergenz, eth, folge, hs22, proof
Difficulty
(3, default)
Points
0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Proof
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