Eindeutigkeit Grenzwert konvergenter Folgen
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Exercise:
Sei Xd ein metrischer Raum. Jede konvergente Folge in X besitzt einen eindeutigen Grenzwert.
Solution:
Angenommen dass die Folge a_n sowohl gegen a als auch gegen b konvergiert. Zu zeigen ist: ab. Nach der Definition von Grenzwert ist lim limits_n to inftya_n a gleichbedeut mit lim limits_n to inftya_n a iff forall epsilon exists N_ in mathbbN: forall n geq N_ : |a_n-a| epsilon Andererseits ist lim limits_n to inftya_n a gleichbedeut mit lim limits_n to inftya_n b iff forall epsilon exists N_ in mathbbN: forall n geq N_ : |a_n-b| epsilon Man kombiniert nun diese zwei Bedingungen. Für ein fixes epsilon wählt man N : textmaxN_N_ damit beide Bedingungen gleichzeitig erfüllt sind. Es gilt dann |a-b| |a-a_n+a_n-b| leq |a-a_n|+|a_n-b| epsilon + epsilon epsilon Da epsilon beliebig klein wählbar ist bedeutet es dass |a-b| eine beliebig kleine Grösse ist also gleich Null ist. Somit gilt ab was zu zeigen war.
Sei Xd ein metrischer Raum. Jede konvergente Folge in X besitzt einen eindeutigen Grenzwert.
Solution:
Angenommen dass die Folge a_n sowohl gegen a als auch gegen b konvergiert. Zu zeigen ist: ab. Nach der Definition von Grenzwert ist lim limits_n to inftya_n a gleichbedeut mit lim limits_n to inftya_n a iff forall epsilon exists N_ in mathbbN: forall n geq N_ : |a_n-a| epsilon Andererseits ist lim limits_n to inftya_n a gleichbedeut mit lim limits_n to inftya_n b iff forall epsilon exists N_ in mathbbN: forall n geq N_ : |a_n-b| epsilon Man kombiniert nun diese zwei Bedingungen. Für ein fixes epsilon wählt man N : textmaxN_N_ damit beide Bedingungen gleichzeitig erfüllt sind. Es gilt dann |a-b| |a-a_n+a_n-b| leq |a-a_n|+|a_n-b| epsilon + epsilon epsilon Da epsilon beliebig klein wählbar ist bedeutet es dass |a-b| eine beliebig kleine Grösse ist also gleich Null ist. Somit gilt ab was zu zeigen war.