Cauchy-Kriterium für Folgen
Question
Solution
Short
Video
\(\LaTeX\)
No explanation / solution video to this exercise has yet been created.
Visit our YouTube-Channel to see solutions to other exercises.
Don't forget to subscribe to our channel, like the videos and leave comments!
Visit our YouTube-Channel to see solutions to other exercises.
Don't forget to subscribe to our channel, like the videos and leave comments!
Exercise:
Eine reelle Folge ist genau dann konvergent wenn sie ein Cauchy-Folge ist.
Solution:
Beweis. Angenommen a_n_n ist eine reelle Folge mit Grenzwert A. Sei epsilon . Dann existiert ein N in mathbbN s.d. für alle n geq N gilt |a_n-A| fracepsilon. Für mn geq N gilt somit auch |a_m-a_n| leq |a_m-A|+|A-a_n| fracepsilon+fracepsilon epsilon Dies beweist dass a_n_n eine Cauchy-Folge ist. Sei umgekehrt a_n_n eine Cauchy-Folge. Für epsilon existiert dann ein N in mathbbN s.d. |a_m-a_n| für mn geq N. Insbesondere gilt also |a_n| leq |a_n-a_N|+|a_N| +|a_N| für alle n geq N. Daher ist a_n_n eine beschränkte Folge Lemma .. Des Weiteren existiert nach Annahme für jedes epsilon ein N in mathbbN s.d. |a_m-a_n| epsilon für mn geq N. Man setzt mN und erhält a_m-epsilon a_n a_m+epsilon. Man betrachte nun Liminf und Limsup der Folge und erhält a_m-epsilon lim textinf_n rightarrow infty a_n leq lim textsup_n rightarrow infty a_n a_m+epsilon. Insbesondere gilt |lim textinf_n rightarrow infty a_n-lim textsup_n rightarrow infty a_n| leq epsilon. Da aber epsilon beliebig erhält man Gleichheit von Limsup und Liminf und daher Konvergenz der Folge nach Korollar ..
Eine reelle Folge ist genau dann konvergent wenn sie ein Cauchy-Folge ist.
Solution:
Beweis. Angenommen a_n_n ist eine reelle Folge mit Grenzwert A. Sei epsilon . Dann existiert ein N in mathbbN s.d. für alle n geq N gilt |a_n-A| fracepsilon. Für mn geq N gilt somit auch |a_m-a_n| leq |a_m-A|+|A-a_n| fracepsilon+fracepsilon epsilon Dies beweist dass a_n_n eine Cauchy-Folge ist. Sei umgekehrt a_n_n eine Cauchy-Folge. Für epsilon existiert dann ein N in mathbbN s.d. |a_m-a_n| für mn geq N. Insbesondere gilt also |a_n| leq |a_n-a_N|+|a_N| +|a_N| für alle n geq N. Daher ist a_n_n eine beschränkte Folge Lemma .. Des Weiteren existiert nach Annahme für jedes epsilon ein N in mathbbN s.d. |a_m-a_n| epsilon für mn geq N. Man setzt mN und erhält a_m-epsilon a_n a_m+epsilon. Man betrachte nun Liminf und Limsup der Folge und erhält a_m-epsilon lim textinf_n rightarrow infty a_n leq lim textsup_n rightarrow infty a_n a_m+epsilon. Insbesondere gilt |lim textinf_n rightarrow infty a_n-lim textsup_n rightarrow infty a_n| leq epsilon. Da aber epsilon beliebig erhält man Gleichheit von Limsup und Liminf und daher Konvergenz der Folge nach Korollar ..