Umordnen absolut konvergenter Reihen
About points...
We associate a certain number of points with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
About difficulty...
We associate a certain difficulty with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
Question
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Exercise:
Sei _i^infty a_n eine absolut konvergente Reihe mit komplexen Gliedern. Sei phi: mathbbN rightarrow mathbbN eine Bijektion. Dann ist _i^infty a_phin ebenso absolut konvergent und es gilt _n^infty a_n _i^infty a_phin
Solution:
Beweis. Sei phi: mathbbN rightarrow mathbbN eine Bijektion und epsilon . Nach dem Cauchy-Kriterium Satz . gibt es ein N in mathbbN s.d. _km^n |a_k| epsilon für alle natürlichen Zahlen n geq m geq N. Daher gilt auch nach der Dreiecksungleichung in Proposition . dass left|_km^infty a_kright| leq _km^infty |a_k| leq epsilon für alle m geq N. Man definiere M textmaxphi^-k|k leq N und wählen ein n geq M. Dann gilt left|_l^n a_phil-_k^infty a_kright| left|_l^n a_phil-_k^N a_k-_kN+^infty a_kright| &leq left|_lleq n phi l N a_philright|+left|_kN+^infty a_kright| &leq _lleq n phi l N |a_phi l|+epsilon epsilon+epsilon wobei man verwet dass phi eine Bijektion ist. Insbesondere treten damit und wegen n geq M alle k in ...N genau einmal als phi l für l in ...n auf und die Differenz _l^n a_phi l-_k^N a_k enthält nach Wegstreichen dieser Terme nur mehr eine Summe über gewisse a_k mit k geq N. Da epsilon beliebig war zeigt dies die Gleichung . Wet man dasselbe Argument wie oben auf die Reihe _n^infty |a_phi n| an ergibt sich auch die absolute Konvergenz von _n^infty a_phi n.
Sei _i^infty a_n eine absolut konvergente Reihe mit komplexen Gliedern. Sei phi: mathbbN rightarrow mathbbN eine Bijektion. Dann ist _i^infty a_phin ebenso absolut konvergent und es gilt _n^infty a_n _i^infty a_phin
Solution:
Beweis. Sei phi: mathbbN rightarrow mathbbN eine Bijektion und epsilon . Nach dem Cauchy-Kriterium Satz . gibt es ein N in mathbbN s.d. _km^n |a_k| epsilon für alle natürlichen Zahlen n geq m geq N. Daher gilt auch nach der Dreiecksungleichung in Proposition . dass left|_km^infty a_kright| leq _km^infty |a_k| leq epsilon für alle m geq N. Man definiere M textmaxphi^-k|k leq N und wählen ein n geq M. Dann gilt left|_l^n a_phil-_k^infty a_kright| left|_l^n a_phil-_k^N a_k-_kN+^infty a_kright| &leq left|_lleq n phi l N a_philright|+left|_kN+^infty a_kright| &leq _lleq n phi l N |a_phi l|+epsilon epsilon+epsilon wobei man verwet dass phi eine Bijektion ist. Insbesondere treten damit und wegen n geq M alle k in ...N genau einmal als phi l für l in ...n auf und die Differenz _l^n a_phi l-_k^N a_k enthält nach Wegstreichen dieser Terme nur mehr eine Summe über gewisse a_k mit k geq N. Da epsilon beliebig war zeigt dies die Gleichung . Wet man dasselbe Argument wie oben auf die Reihe _n^infty |a_phi n| an ergibt sich auch die absolute Konvergenz von _n^infty a_phi n.
Meta Information
Exercise:
Sei _i^infty a_n eine absolut konvergente Reihe mit komplexen Gliedern. Sei phi: mathbbN rightarrow mathbbN eine Bijektion. Dann ist _i^infty a_phin ebenso absolut konvergent und es gilt _n^infty a_n _i^infty a_phin
Solution:
Beweis. Sei phi: mathbbN rightarrow mathbbN eine Bijektion und epsilon . Nach dem Cauchy-Kriterium Satz . gibt es ein N in mathbbN s.d. _km^n |a_k| epsilon für alle natürlichen Zahlen n geq m geq N. Daher gilt auch nach der Dreiecksungleichung in Proposition . dass left|_km^infty a_kright| leq _km^infty |a_k| leq epsilon für alle m geq N. Man definiere M textmaxphi^-k|k leq N und wählen ein n geq M. Dann gilt left|_l^n a_phil-_k^infty a_kright| left|_l^n a_phil-_k^N a_k-_kN+^infty a_kright| &leq left|_lleq n phi l N a_philright|+left|_kN+^infty a_kright| &leq _lleq n phi l N |a_phi l|+epsilon epsilon+epsilon wobei man verwet dass phi eine Bijektion ist. Insbesondere treten damit und wegen n geq M alle k in ...N genau einmal als phi l für l in ...n auf und die Differenz _l^n a_phi l-_k^N a_k enthält nach Wegstreichen dieser Terme nur mehr eine Summe über gewisse a_k mit k geq N. Da epsilon beliebig war zeigt dies die Gleichung . Wet man dasselbe Argument wie oben auf die Reihe _n^infty |a_phi n| an ergibt sich auch die absolute Konvergenz von _n^infty a_phi n.
Sei _i^infty a_n eine absolut konvergente Reihe mit komplexen Gliedern. Sei phi: mathbbN rightarrow mathbbN eine Bijektion. Dann ist _i^infty a_phin ebenso absolut konvergent und es gilt _n^infty a_n _i^infty a_phin
Solution:
Beweis. Sei phi: mathbbN rightarrow mathbbN eine Bijektion und epsilon . Nach dem Cauchy-Kriterium Satz . gibt es ein N in mathbbN s.d. _km^n |a_k| epsilon für alle natürlichen Zahlen n geq m geq N. Daher gilt auch nach der Dreiecksungleichung in Proposition . dass left|_km^infty a_kright| leq _km^infty |a_k| leq epsilon für alle m geq N. Man definiere M textmaxphi^-k|k leq N und wählen ein n geq M. Dann gilt left|_l^n a_phil-_k^infty a_kright| left|_l^n a_phil-_k^N a_k-_kN+^infty a_kright| &leq left|_lleq n phi l N a_philright|+left|_kN+^infty a_kright| &leq _lleq n phi l N |a_phi l|+epsilon epsilon+epsilon wobei man verwet dass phi eine Bijektion ist. Insbesondere treten damit und wegen n geq M alle k in ...N genau einmal als phi l für l in ...n auf und die Differenz _l^n a_phi l-_k^N a_k enthält nach Wegstreichen dieser Terme nur mehr eine Summe über gewisse a_k mit k geq N. Da epsilon beliebig war zeigt dies die Gleichung . Wet man dasselbe Argument wie oben auf die Reihe _n^infty |a_phi n| an ergibt sich auch die absolute Konvergenz von _n^infty a_phi n.
Contained in these collections
| Title | Matched on |
|---|---|
| Absolute Konvergenz | tags |
| D'Alemberts Quotientenkriterium | tags |
| Nullfolgen | tags |
| Zusammenfassen von benachbarten Gliedern | tags |
| Majorantenkriterium von Weierstrass | tags |