Umordnen absolut konvergenter Reihen
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Exercise:
Sei _i^infty a_n eine absolut konvergente Reihe mit komplexen Gliedern. Sei phi: mathbbN rightarrow mathbbN eine Bijektion. Dann ist _i^infty a_phin ebenso absolut konvergent und es gilt _n^infty a_n _i^infty a_phin
Solution:
Beweis. Sei phi: mathbbN rightarrow mathbbN eine Bijektion und epsilon . Nach dem Cauchy-Kriterium Satz . gibt es ein N in mathbbN s.d. _km^n |a_k| epsilon für alle natürlichen Zahlen n geq m geq N. Daher gilt auch nach der Dreiecksungleichung in Proposition . dass left|_km^infty a_kright| leq _km^infty |a_k| leq epsilon für alle m geq N. Man definiere M textmaxphi^-k|k leq N und wählen ein n geq M. Dann gilt left|_l^n a_phil-_k^infty a_kright| left|_l^n a_phil-_k^N a_k-_kN+^infty a_kright| &leq left|_lleq n phi l N a_philright|+left|_kN+^infty a_kright| &leq _lleq n phi l N |a_phi l|+epsilon epsilon+epsilon wobei man verwet dass phi eine Bijektion ist. Insbesondere treten damit und wegen n geq M alle k in ...N genau einmal als phi l für l in ...n auf und die Differenz _l^n a_phi l-_k^N a_k enthält nach Wegstreichen dieser Terme nur mehr eine Summe über gewisse a_k mit k geq N. Da epsilon beliebig war zeigt dies die Gleichung . Wet man dasselbe Argument wie oben auf die Reihe _n^infty |a_phi n| an ergibt sich auch die absolute Konvergenz von _n^infty a_phi n.
Sei _i^infty a_n eine absolut konvergente Reihe mit komplexen Gliedern. Sei phi: mathbbN rightarrow mathbbN eine Bijektion. Dann ist _i^infty a_phin ebenso absolut konvergent und es gilt _n^infty a_n _i^infty a_phin
Solution:
Beweis. Sei phi: mathbbN rightarrow mathbbN eine Bijektion und epsilon . Nach dem Cauchy-Kriterium Satz . gibt es ein N in mathbbN s.d. _km^n |a_k| epsilon für alle natürlichen Zahlen n geq m geq N. Daher gilt auch nach der Dreiecksungleichung in Proposition . dass left|_km^infty a_kright| leq _km^infty |a_k| leq epsilon für alle m geq N. Man definiere M textmaxphi^-k|k leq N und wählen ein n geq M. Dann gilt left|_l^n a_phil-_k^infty a_kright| left|_l^n a_phil-_k^N a_k-_kN+^infty a_kright| &leq left|_lleq n phi l N a_philright|+left|_kN+^infty a_kright| &leq _lleq n phi l N |a_phi l|+epsilon epsilon+epsilon wobei man verwet dass phi eine Bijektion ist. Insbesondere treten damit und wegen n geq M alle k in ...N genau einmal als phi l für l in ...n auf und die Differenz _l^n a_phi l-_k^N a_k enthält nach Wegstreichen dieser Terme nur mehr eine Summe über gewisse a_k mit k geq N. Da epsilon beliebig war zeigt dies die Gleichung . Wet man dasselbe Argument wie oben auf die Reihe _n^infty |a_phi n| an ergibt sich auch die absolute Konvergenz von _n^infty a_phi n.