Vergleichssatz/Major-, Minorantenkriterium
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Exercise:
abcliste abc Was besagt das Kriterium? abc Beweis. abcliste
Solution:
abcliste abc Seien _k^infty a_k _k^infty b_k zwei Reihen mit der Eigenschaft leq a_k leq b_k für alle kin mathbbN. Dann gilt _k^infty a_k leq _k^infty b_k und insbesondere gelten die Implikationen _k^infty b_k textkonvergent Longrightarrow _k^infty a_k textkonvergent b_k ist ja grösser Majorante und beschränkt quasi von oben deshalb kann a_k da glqq nicht drübergrqq und _k^infty a_k textdivergent Longrightarrow _k^infty b_k textdivergent a_k ist ja kleiner Minorante und drückt quasi von unten deshalb kann b_k glqq nicht stehenbleibengrqq abc Aus a_k leq b_k für alle k in mathbbN folgt _k^infty a_k leq _k^infty b_k für alle n in mathbbN. Somit gilt nach Monotonie der Folge der Partialmen _k^infty a_k textsupleft_k^infty a_k|nin mathbbNright leq textsupleft_k^infty b_k|nin mathbbNright _k^infty b_k abcliste
abcliste abc Was besagt das Kriterium? abc Beweis. abcliste
Solution:
abcliste abc Seien _k^infty a_k _k^infty b_k zwei Reihen mit der Eigenschaft leq a_k leq b_k für alle kin mathbbN. Dann gilt _k^infty a_k leq _k^infty b_k und insbesondere gelten die Implikationen _k^infty b_k textkonvergent Longrightarrow _k^infty a_k textkonvergent b_k ist ja grösser Majorante und beschränkt quasi von oben deshalb kann a_k da glqq nicht drübergrqq und _k^infty a_k textdivergent Longrightarrow _k^infty b_k textdivergent a_k ist ja kleiner Minorante und drückt quasi von unten deshalb kann b_k glqq nicht stehenbleibengrqq abc Aus a_k leq b_k für alle k in mathbbN folgt _k^infty a_k leq _k^infty b_k für alle n in mathbbN. Somit gilt nach Monotonie der Folge der Partialmen _k^infty a_k textsupleft_k^infty a_k|nin mathbbNright leq textsupleft_k^infty b_k|nin mathbbNright _k^infty b_k abcliste