Verdichtung Reihen / Cauchy-Kondensationstest
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Exercise:
abcliste abc Was besagt der Cauchy-Kondensationstest? abc Beweis. abcliste
Solution:
abcliste abc Eine Reihe _k^infty a_k mit nicht-negativen monoton abnehmen Gliedern a_ geq a_ geq...geq ist genau dann konvergent wenn _k^infty ^ka_k konvergent ist. abc Es gelten auf Grund der angenommenen Monotonie von a_n_n die Ungleichungen a_ leq a_ leq a_ a_ leq a_+a_leq a_ ^a_ leq a_+a_+a_+a_ leq ^a_ und allgemeiner ^na_^n+ leq a_^n++...+a_^n+ leq ^na_^n für n in mathbbN. Für Summen ergibt sich daher die Ungleichung _k^n+ ^k-a_^k leq _l^^n+ a_l leq _k^n ^ka_^k und man erhält die Proposition durch Grenzübergang n rightarrow infty und Korollar . Majoranten/Minoranten. abcliste
abcliste abc Was besagt der Cauchy-Kondensationstest? abc Beweis. abcliste
Solution:
abcliste abc Eine Reihe _k^infty a_k mit nicht-negativen monoton abnehmen Gliedern a_ geq a_ geq...geq ist genau dann konvergent wenn _k^infty ^ka_k konvergent ist. abc Es gelten auf Grund der angenommenen Monotonie von a_n_n die Ungleichungen a_ leq a_ leq a_ a_ leq a_+a_leq a_ ^a_ leq a_+a_+a_+a_ leq ^a_ und allgemeiner ^na_^n+ leq a_^n++...+a_^n+ leq ^na_^n für n in mathbbN. Für Summen ergibt sich daher die Ungleichung _k^n+ ^k-a_^k leq _l^^n+ a_l leq _k^n ^ka_^k und man erhält die Proposition durch Grenzübergang n rightarrow infty und Korollar . Majoranten/Minoranten. abcliste