Konvergenz bzgl. verschiedener Normen
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Exercise:
Sei d in mathbbN sei bf v_n_n eine Folge in mathbbC^d und sei bf vin mathbbC^d. Folge Aussagen sind äquivalent: abcliste abc Die Folge bf v_n_n konvergiert gegen bf v bezüglich der Norm ||||_infty. abc Die Folge bf v_n_n konvergiert gegen bf v bezüglich der Norm ||||_. abc Die Folge bf v_n_n konvergiert gegen bf v bezüglich der Norm ||||_. abc Für alle j...d konvergiert die Folge der Komponenten pi_jbf v_n_n gegen pi_jbf v. abcliste Norm quasi egal wenn für eine Norm konvergiert dann auch für alle anderen.
Solution:
Beweis. Zuerst a b c beweisen. Man verwet dafür: ||w||_infty leq ||w||_ leq d||w||_infty ||w||_infty leq ||w||_ leq sqrtd||w||_infty für alle bf win mathbbC^d. Nun kann man a Longrightarrow b zeigen alle anderen Aussagen folgen analog. Sei also epsilon und sei N in mathbbN s.d. ||bf v_n-bf v||_infty fracepsilond für all n geq N. Nach gilt für alle n geq N ||bf v_n-bf v||_ leq d||bf v_n-bf v||_infty epsilon was a Longrightarrow b beweist. Zum Schluss beweist man nun die Äquivalenz der Aussagen in a und d. Angenommen a gilt. Somit gibt es für epsilon ein N in mathbbN mit ||bf v_n-bf v||_infty epsilon für alle n geq N. Insbesondere gilt für j...d |pi_jbf v_n-pi_jbf v| |pi_jbf v_n-bf v| leq ||bf v_n-bf v||_infty epsilon für alle n geq N womit pi_jbf v_n_n gegen pi_jbf v konvergiert da epsilon beliebig war. Angenommen es gilt nun umgekehrt d. Dann gibt es zu j in ...d ein N_j in mathbbN mit |pi_jbf v_n-pi_jbf v| epsilon für alle n geq N_j. Sei N textmaxN_...N_d. Dann gilt für alle n geq N ||bf v_n-bf v||_infty textmax_j...d|pi_jbf v_n-pi_jbf v| epsilon. Da epsilon beliebig ist folgt Konvergenz von bf v_n_n gegen bf v was das Lemma beweist.
Sei d in mathbbN sei bf v_n_n eine Folge in mathbbC^d und sei bf vin mathbbC^d. Folge Aussagen sind äquivalent: abcliste abc Die Folge bf v_n_n konvergiert gegen bf v bezüglich der Norm ||||_infty. abc Die Folge bf v_n_n konvergiert gegen bf v bezüglich der Norm ||||_. abc Die Folge bf v_n_n konvergiert gegen bf v bezüglich der Norm ||||_. abc Für alle j...d konvergiert die Folge der Komponenten pi_jbf v_n_n gegen pi_jbf v. abcliste Norm quasi egal wenn für eine Norm konvergiert dann auch für alle anderen.
Solution:
Beweis. Zuerst a b c beweisen. Man verwet dafür: ||w||_infty leq ||w||_ leq d||w||_infty ||w||_infty leq ||w||_ leq sqrtd||w||_infty für alle bf win mathbbC^d. Nun kann man a Longrightarrow b zeigen alle anderen Aussagen folgen analog. Sei also epsilon und sei N in mathbbN s.d. ||bf v_n-bf v||_infty fracepsilond für all n geq N. Nach gilt für alle n geq N ||bf v_n-bf v||_ leq d||bf v_n-bf v||_infty epsilon was a Longrightarrow b beweist. Zum Schluss beweist man nun die Äquivalenz der Aussagen in a und d. Angenommen a gilt. Somit gibt es für epsilon ein N in mathbbN mit ||bf v_n-bf v||_infty epsilon für alle n geq N. Insbesondere gilt für j...d |pi_jbf v_n-pi_jbf v| |pi_jbf v_n-bf v| leq ||bf v_n-bf v||_infty epsilon für alle n geq N womit pi_jbf v_n_n gegen pi_jbf v konvergiert da epsilon beliebig war. Angenommen es gilt nun umgekehrt d. Dann gibt es zu j in ...d ein N_j in mathbbN mit |pi_jbf v_n-pi_jbf v| epsilon für alle n geq N_j. Sei N textmaxN_...N_d. Dann gilt für alle n geq N ||bf v_n-bf v||_infty textmax_j...d|pi_jbf v_n-pi_jbf v| epsilon. Da epsilon beliebig ist folgt Konvergenz von bf v_n_n gegen bf v was das Lemma beweist.