Cauchy-Wurzelkriterium
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Exercise:
abcliste abc Was besagt das Kriterium? abc Beweis. abcliste
Solution:
abcliste abc Sei a_n_n eine Folge komplexer Zahlen und alpha lim textsup_n rightarrow inftysqrtn|a_n| in mathbbRcup infty Dann gilt alpha & Longrightarrow _n^infty a_n textist absolut konvergent alpha & Longrightarrow _n^infty a_n textist divergent und a_n_n ist keine Nullfolge abc Beweis. Angenommen alpha . Dann gibt es ein n in mathbbN mit textsup_k geq nsqrtk|a_k| q frac+alpha und somit |a_k| q^k für alle k geq n. Die Reihe _n^infty a_k konvergiert somit absolut wegen dem Majorantenkriterium Korollar . und der geometrischen Reihe. Falls alpha gilt gibt es nach Satz . eine Teilfolge a_n_k_k mit sqrtn_k|a_n_k| für alle k. Daraus folgt aber |a_n_k| . Insbesondere ist a_n_n keine Nullfolge und _n^infty a_n divergiert nach Proposition .. abcliste
abcliste abc Was besagt das Kriterium? abc Beweis. abcliste
Solution:
abcliste abc Sei a_n_n eine Folge komplexer Zahlen und alpha lim textsup_n rightarrow inftysqrtn|a_n| in mathbbRcup infty Dann gilt alpha & Longrightarrow _n^infty a_n textist absolut konvergent alpha & Longrightarrow _n^infty a_n textist divergent und a_n_n ist keine Nullfolge abc Beweis. Angenommen alpha . Dann gibt es ein n in mathbbN mit textsup_k geq nsqrtk|a_k| q frac+alpha und somit |a_k| q^k für alle k geq n. Die Reihe _n^infty a_k konvergiert somit absolut wegen dem Majorantenkriterium Korollar . und der geometrischen Reihe. Falls alpha gilt gibt es nach Satz . eine Teilfolge a_n_k_k mit sqrtn_k|a_n_k| für alle k. Daraus folgt aber |a_n_k| . Insbesondere ist a_n_n keine Nullfolge und _n^infty a_n divergiert nach Proposition .. abcliste