Exercise:
Für jede konvergente Teilfolge a_n_k_k einer beschränkten reellen Folge a_n_n gilt lim limits_k rightarrow infty a_n_k in lim textinf_n rightarrow infty a_n lim textsup_n rightarrow infty a_n. Des Weiteren existiert eine konvergente Teilfolge a_n_k_k mit lim limits_k rightarrow infty a_n_k lim textinf_n rightarrow infty a_n und eine konvergente Teilfolge a_m_k_k mit lim limits_k rightarrow infty a_m_k lim textinf_n rightarrow infty a_n. Bsp. Folge a_n_n mit a_n -^n mit n in mathbbN konvergente Teilfolge a_k_k mit lim limits_k rightarrow infty a_k lim textsup_n rightarrow infty a_n und eine konvergente Teilfolge mit a_k+_k mit lim limits_k rightarrow infty a_k+ lim textinf_n rightarrow infty a_n -.

Solution:
Beweis. Sei a_n_k_k eine konvergente Teilfolge von a_n_n I lim textinf_n rightarrow infty a_n S lim textsup_n rightarrow infty a_n und epsilon . Dann gibt es nach der ersten Eigenschaft in Satz . ein N in mathbbN s.d. a_n leq S+epsilon für alle n geq N. Wenn nötig kann man N noch grösser wählen so dass ebenso gilt a_n geq I-epsilon für alle n geq N. Insbesondere gelte und auch für a_n_k und genüg grosse k z.B. k geq N da dann n_k geq k geq N. Für den Limes der Folge a_n_k_k ergibt sich daraus I-epsilon leq lim limits_k rightarrow infty a_n_k leq S+epsilon Da epsilon beliebig war und lim limits_k rightarrow infty a_n_k nicht von epsilon abhängt ergibt sich daraus I leq lim limits_k rightarrow infty a_n_k leq S wie behauptet. Man möchte nun eine konvergente Teilfolge von a_n_n mit Grenzwert lim textsup_n rightarrow infty a_n finden. In anderen Worten zeigen dass lim textsup_n rightarrow infty a_n ein Häufungspunkt der Folge a_n_n ist. Man benutzt dabei die zweite äquivalente Bedingung in Proposition .. Sei also epsilon und N in mathbbN. Dann existiert ein M geq N mit S leq S_M S+epsilon da S lim limits_n rightarrow infty S_n textinfS_n|n in mathbbN. Auf Grund der Definition des Supremums existiert damit ein n geq M geq N mit S-epsilon leq S_M-epsilon a_n S_M S+epsilon Der Beweis der Existenz einer Teilfolge mit Grenzwert lim textinf_n rightarrow infty a_n ist analog.