Grenzwerte und Ungleichungen
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Exercise:
Seien a_n_n b_n_n reelle Folgen mit Grenzwerten alim limits_n rightarrow infty a_n blim limits_n rightarrow inftyb_n. abcliste abc Falls a_n leq b_n für alle n in mathbbN dann gilt auch a leq b. gilt nicht! Bsp. a_n b_nfracn abc Falls a b dann existiert ein N in mathbbN s.d. a_n b_n für alle n geq N. abcliste
Solution:
Beweis. Zuerst zweite Behauptung: Angenommen a b. dann ist epsilon fracb-a und es existiert ein N in mathbbN definiert als ein Maximum s.d. n geq N Longrightarrow a-epsilon a_n a+epsilon n geq N Longrightarrow b-epsilon b_n b+epsilon Da aber a+epsilon b-epsilon nach Wahl von epsilon ergibt sich a_n a+epsilon b-epsilon b_n für alle n geq N. Dies beweist auch die erste Behauptung. Denn falls a b wäre dann gäbe es nach obigem Folgenglieder a_nb_n mit a_n b_n.
Seien a_n_n b_n_n reelle Folgen mit Grenzwerten alim limits_n rightarrow infty a_n blim limits_n rightarrow inftyb_n. abcliste abc Falls a_n leq b_n für alle n in mathbbN dann gilt auch a leq b. gilt nicht! Bsp. a_n b_nfracn abc Falls a b dann existiert ein N in mathbbN s.d. a_n b_n für alle n geq N. abcliste
Solution:
Beweis. Zuerst zweite Behauptung: Angenommen a b. dann ist epsilon fracb-a und es existiert ein N in mathbbN definiert als ein Maximum s.d. n geq N Longrightarrow a-epsilon a_n a+epsilon n geq N Longrightarrow b-epsilon b_n b+epsilon Da aber a+epsilon b-epsilon nach Wahl von epsilon ergibt sich a_n a+epsilon b-epsilon b_n für alle n geq N. Dies beweist auch die erste Behauptung. Denn falls a b wäre dann gäbe es nach obigem Folgenglieder a_nb_n mit a_n b_n.