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https://texercises.com/exercise/beschranktheit-konvergenter-folgen/
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Exercise:
Jede konvergente Folge in eine normierten Vektorraum V|||| ist beschränkt.

Solution:
Beweis. Sei a_n_n eine konvergente Folge und A lim limits_n rightarrow infty a_n. Dann existiert ein N in mathbbN so dass ||a_n-A|| für alle n geq N. Daraus folgt ||a_n|| ||a_n-A+A|| leq ||a_n-A||+||A|| + ||A|| für alle n geq N und ||a_n|| leq textmax||a_||||a_||...||a_N-||+||A|| für alle n in mathbbN.
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Jede konvergente Folge in eine normierten Vektorraum V|||| ist beschränkt.

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Beweis. Sei a_n_n eine konvergente Folge und A lim limits_n rightarrow infty a_n. Dann existiert ein N in mathbbN so dass ||a_n-A|| für alle n geq N. Daraus folgt ||a_n|| ||a_n-A+A|| leq ||a_n-A||+||A|| + ||A|| für alle n geq N und ||a_n|| leq textmax||a_||||a_||...||a_N-||+||A|| für alle n in mathbbN.
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Attributes & Decorations
Tags
analysis, beweis, eth, folge, hs22, limes, proof
Difficulty
(3, default)
Points
0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Proof
Decoration
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