Konvergenz von monotonen Folgen
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Exercise:
Eine monotone reelle Folge a_n_n konvergiert genau dann wenn sie beschränkt ist. Falls die Folge a_n_n monoton wachs ist gilt lim limits_n rightarrow infty textsupa_n|n in mathbbN. Falls die Folge a_n_n monoton fall ist gilt lim limits_n rightarrow infty textinfa_n|n in mathbbN.
Solution:
Falls a_n_n konvergent ist ist a_n_n beschränkt nach Lemma .. Sei also a_n_n eine beschränkte reelle Folge. O.B.d.A. kann man annehmen dass a_n_n monoton wachs ist sonst einfach a_n_n durch -a_n_n ersetzen. Sei atextsupa_n|n in mathbbN. Dann existiert nach der Charakterisierung des Supremums Satz . für jedes epsilon ein N in mahtbbN mit a_N a-epsilon. Für n geq N folgt damit aus der Monotonie von a_n_n dass a-epsilon a_N leq a_n leq a a+epsilon was zu zeigen war.
Eine monotone reelle Folge a_n_n konvergiert genau dann wenn sie beschränkt ist. Falls die Folge a_n_n monoton wachs ist gilt lim limits_n rightarrow infty textsupa_n|n in mathbbN. Falls die Folge a_n_n monoton fall ist gilt lim limits_n rightarrow infty textinfa_n|n in mathbbN.
Solution:
Falls a_n_n konvergent ist ist a_n_n beschränkt nach Lemma .. Sei also a_n_n eine beschränkte reelle Folge. O.B.d.A. kann man annehmen dass a_n_n monoton wachs ist sonst einfach a_n_n durch -a_n_n ersetzen. Sei atextsupa_n|n in mathbbN. Dann existiert nach der Charakterisierung des Supremums Satz . für jedes epsilon ein N in mahtbbN mit a_N a-epsilon. Für n geq N folgt damit aus der Monotonie von a_n_n dass a-epsilon a_N leq a_n leq a a+epsilon was zu zeigen war.