Absolute Konvergenz
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Exercise:
Eine absolut konvergente Reihe _n^infty a_n ist auch konvergent und es gilt die verallgemeinerte Dreiecksungleichung left|_n^infty a_nright| leq _n^infty |a_n|
Solution:
Beweis. Der erste Teil folgt unmittelbar aus zweifacher Anwung des Cauchy-Kriteriums für Reihen Satz .: Da die Reihe _n^infty |a_n| konvergiert gibt es für epsilon nach dem Cauchy-Kriterium ein N in mathbbN s.d. für n geq m geq N die Abschätzung _n^infty |a_n| epsilon gilt. Daraus folgt left|_n^infty a_nright| leq _n^infty |a_n| epsilon mit der Dreiecksungleichung. Da epsilon beliebig war beweist dies nach dem Cauchy-Kriterium die Konvergenz der Reihe _n^infty |a_n|. Der zweite Teil folgt nun aus der Ungleichung left|_n^infty a_nright| leq _n^infty |a_n| für alle n in mathbbN und dem Grenzübergang für n rightarrow infty.
Eine absolut konvergente Reihe _n^infty a_n ist auch konvergent und es gilt die verallgemeinerte Dreiecksungleichung left|_n^infty a_nright| leq _n^infty |a_n|
Solution:
Beweis. Der erste Teil folgt unmittelbar aus zweifacher Anwung des Cauchy-Kriteriums für Reihen Satz .: Da die Reihe _n^infty |a_n| konvergiert gibt es für epsilon nach dem Cauchy-Kriterium ein N in mathbbN s.d. für n geq m geq N die Abschätzung _n^infty |a_n| epsilon gilt. Daraus folgt left|_n^infty a_nright| leq _n^infty |a_n| epsilon mit der Dreiecksungleichung. Da epsilon beliebig war beweist dies nach dem Cauchy-Kriterium die Konvergenz der Reihe _n^infty |a_n|. Der zweite Teil folgt nun aus der Ungleichung left|_n^infty a_nright| leq _n^infty |a_n| für alle n in mathbbN und dem Grenzübergang für n rightarrow infty.