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Exercise:
Sei D subseteq mathbbR eine Teilmenge und f eine reellwertige Funktion auf D. Angenommen f nimmt in x_ in D ein lokales Extremum an f ist bei x_ differenzierbar und x_ ist sowohl ein rechtsseitiger als auch ein linksseitiger Häufungspunkt von D. Dann gilt f'x_.

Solution:
Beweis. Angenommen o.B.d.A. dass f ein lokales Maximum in x_ in D annimmt. Da f bei x_ differenzierbar ist und x_ von links und rechts angenähert werden kann existieren sowohl der linksseitige als auch der rechtsseitige Grenzwert der Differenzenquotienten bei x_ und beide sind gleich f'x_. Dann ist f'x_ f'_+x_ lim limits_x searrow x_fracfx-fx_x-x_ leq da fx-fx_ für alle x hinreich nahe bei x_ gilt und x x_ für die Bewegung x searrow x_ erfüllt ist. Weiters ist aber auch f'x_ f'_-x_ lim limits_x nearrow x_fracfx-fx_x-x_ geq da wiederum fx leq fx_ für alle x hinreich nahe bei x_ gilt und x x_ für die Bewegung x nearrow x_ erfüllt ist. Insgesamt erhält man f'x_.
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Sei D subseteq mathbbR eine Teilmenge und f eine reellwertige Funktion auf D. Angenommen f nimmt in x_ in D ein lokales Extremum an f ist bei x_ differenzierbar und x_ ist sowohl ein rechtsseitiger als auch ein linksseitiger Häufungspunkt von D. Dann gilt f'x_.

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Beweis. Angenommen o.B.d.A. dass f ein lokales Maximum in x_ in D annimmt. Da f bei x_ differenzierbar ist und x_ von links und rechts angenähert werden kann existieren sowohl der linksseitige als auch der rechtsseitige Grenzwert der Differenzenquotienten bei x_ und beide sind gleich f'x_. Dann ist f'x_ f'_+x_ lim limits_x searrow x_fracfx-fx_x-x_ leq da fx-fx_ für alle x hinreich nahe bei x_ gilt und x x_ für die Bewegung x searrow x_ erfüllt ist. Weiters ist aber auch f'x_ f'_-x_ lim limits_x nearrow x_fracfx-fx_x-x_ geq da wiederum fx leq fx_ für alle x hinreich nahe bei x_ gilt und x x_ für die Bewegung x nearrow x_ erfüllt ist. Insgesamt erhält man f'x_.
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Tags
ableitung, analysis, beweis, eth, hs22, proof
Difficulty
(3, default)
Points
0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Proof
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