Notwendige Bedingung für Extremum
About points...
We associate a certain number of points with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as points for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit the number of points for the exercise in the collection independently, without any effect on "points by default" as represented by the number here.
That being said... How many "default points" should you associate with an exercise upon creation?
As with difficulty, there is no straight forward and generally accepted way.
But as a guideline, we tend to give as many points by default as there are mathematical steps to do in the exercise.
Again, very vague... But the number should kind of represent the "work" required.
About difficulty...
We associate a certain difficulty with each exercise.
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
When you click an exercise into a collection, this number will be taken as difficulty for the exercise, kind of "by default".
But once the exercise is on the collection, you can edit its difficulty in the collection independently, without any effect on the "difficulty by default" here.
Why we use chess pieces? Well... we like chess, we like playing around with \(\LaTeX\)-fonts, we wanted symbols that need less space than six stars in a table-column... But in your layouts, you are of course free to indicate the difficulty of the exercise the way you want.
That being said... How "difficult" is an exercise? It depends on many factors, like what was being taught etc.
In physics exercises, we try to follow this pattern:
Level 1 - One formula (one you would find in a reference book) is enough to solve the exercise. Example exercise
Level 2 - Two formulas are needed, it's possible to compute an "in-between" solution, i.e. no algebraic equation needed. Example exercise
Level 3 - "Chain-computations" like on level 2, but 3+ calculations. Still, no equations, i.e. you are not forced to solve it in an algebraic manner. Example exercise
Level 4 - Exercise needs to be solved by algebraic equations, not possible to calculate numerical "in-between" results. Example exercise
Level 5 -
Level 6 -
Question
Solution
Short
Video
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Exercise:
Sei D subseteq mathbbR eine Teilmenge und f eine reellwertige Funktion auf D. Angenommen f nimmt in x_ in D ein lokales Extremum an f ist bei x_ differenzierbar und x_ ist sowohl ein rechtsseitiger als auch ein linksseitiger Häufungspunkt von D. Dann gilt f'x_.
Solution:
Beweis. Angenommen o.B.d.A. dass f ein lokales Maximum in x_ in D annimmt. Da f bei x_ differenzierbar ist und x_ von links und rechts angenähert werden kann existieren sowohl der linksseitige als auch der rechtsseitige Grenzwert der Differenzenquotienten bei x_ und beide sind gleich f'x_. Dann ist f'x_ f'_+x_ lim limits_x searrow x_fracfx-fx_x-x_ leq da fx-fx_ für alle x hinreich nahe bei x_ gilt und x x_ für die Bewegung x searrow x_ erfüllt ist. Weiters ist aber auch f'x_ f'_-x_ lim limits_x nearrow x_fracfx-fx_x-x_ geq da wiederum fx leq fx_ für alle x hinreich nahe bei x_ gilt und x x_ für die Bewegung x nearrow x_ erfüllt ist. Insgesamt erhält man f'x_.
Sei D subseteq mathbbR eine Teilmenge und f eine reellwertige Funktion auf D. Angenommen f nimmt in x_ in D ein lokales Extremum an f ist bei x_ differenzierbar und x_ ist sowohl ein rechtsseitiger als auch ein linksseitiger Häufungspunkt von D. Dann gilt f'x_.
Solution:
Beweis. Angenommen o.B.d.A. dass f ein lokales Maximum in x_ in D annimmt. Da f bei x_ differenzierbar ist und x_ von links und rechts angenähert werden kann existieren sowohl der linksseitige als auch der rechtsseitige Grenzwert der Differenzenquotienten bei x_ und beide sind gleich f'x_. Dann ist f'x_ f'_+x_ lim limits_x searrow x_fracfx-fx_x-x_ leq da fx-fx_ für alle x hinreich nahe bei x_ gilt und x x_ für die Bewegung x searrow x_ erfüllt ist. Weiters ist aber auch f'x_ f'_-x_ lim limits_x nearrow x_fracfx-fx_x-x_ geq da wiederum fx leq fx_ für alle x hinreich nahe bei x_ gilt und x x_ für die Bewegung x nearrow x_ erfüllt ist. Insgesamt erhält man f'x_.
Meta Information
Exercise:
Sei D subseteq mathbbR eine Teilmenge und f eine reellwertige Funktion auf D. Angenommen f nimmt in x_ in D ein lokales Extremum an f ist bei x_ differenzierbar und x_ ist sowohl ein rechtsseitiger als auch ein linksseitiger Häufungspunkt von D. Dann gilt f'x_.
Solution:
Beweis. Angenommen o.B.d.A. dass f ein lokales Maximum in x_ in D annimmt. Da f bei x_ differenzierbar ist und x_ von links und rechts angenähert werden kann existieren sowohl der linksseitige als auch der rechtsseitige Grenzwert der Differenzenquotienten bei x_ und beide sind gleich f'x_. Dann ist f'x_ f'_+x_ lim limits_x searrow x_fracfx-fx_x-x_ leq da fx-fx_ für alle x hinreich nahe bei x_ gilt und x x_ für die Bewegung x searrow x_ erfüllt ist. Weiters ist aber auch f'x_ f'_-x_ lim limits_x nearrow x_fracfx-fx_x-x_ geq da wiederum fx leq fx_ für alle x hinreich nahe bei x_ gilt und x x_ für die Bewegung x nearrow x_ erfüllt ist. Insgesamt erhält man f'x_.
Sei D subseteq mathbbR eine Teilmenge und f eine reellwertige Funktion auf D. Angenommen f nimmt in x_ in D ein lokales Extremum an f ist bei x_ differenzierbar und x_ ist sowohl ein rechtsseitiger als auch ein linksseitiger Häufungspunkt von D. Dann gilt f'x_.
Solution:
Beweis. Angenommen o.B.d.A. dass f ein lokales Maximum in x_ in D annimmt. Da f bei x_ differenzierbar ist und x_ von links und rechts angenähert werden kann existieren sowohl der linksseitige als auch der rechtsseitige Grenzwert der Differenzenquotienten bei x_ und beide sind gleich f'x_. Dann ist f'x_ f'_+x_ lim limits_x searrow x_fracfx-fx_x-x_ leq da fx-fx_ für alle x hinreich nahe bei x_ gilt und x x_ für die Bewegung x searrow x_ erfüllt ist. Weiters ist aber auch f'x_ f'_-x_ lim limits_x nearrow x_fracfx-fx_x-x_ geq da wiederum fx leq fx_ für alle x hinreich nahe bei x_ gilt und x x_ für die Bewegung x nearrow x_ erfüllt ist. Insgesamt erhält man f'x_.
Contained in these collections
| Title | Creator | Matched on |
|---|---|---|
| Zwischenwerteigenschaft Ableitung | rk | tags |
| Kriterium für Monotonie | rk | tags |
| Hinreichende Kriterien für lokale Extrema | rk | tags |
| Ableitung des Integrals | rk | tags |
| Cauchy-Schwarz-Ungleichung | rk | tags |

