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Exercise:
Zeigen Sie dass es keine lineare Ordnungsrelation auf mathbbC gibt die mathbbC zu einem angeordneten Körper macht.

Solution:
Wir zeigen zuerst dass falls leq die oben definierte Relation bezeichnet dann ist mathbbC leq kein angeordneter Körper. Seien z w i. Bemerke dass leq i da . Falls mathbbC leq ein angeordneter Körper wäre dann sollte aus Axiom i^ gelten aber i^ - und - und dies impliziert i^ . Das ist ein Widerspruch zur Definition von angeordneten Körper. Sei jetzt leq eine beliebige lineare Ordnungrelation auf mathbbC i.e. nicht zwing die obige Relation. Wir zeigen dass mathbbC leq kein angeordneter Körper ist. Man beweise das folge Lemma: Lemma. Sei K leq ein angeordneter Körper. Dann gilt -_K _K _K. Beweis. Nach Linearität von leq Axiom erhält man folge Fälle: abcliste abc leq und leq -. Man benutze Axiom mit x y und z - und erhält - leq ein Widerspruch. abc leq und - leq . Man benutze Axiom mit x - y und z und erhält leq ein Widerspruch. abc leq leq -. Man benutze Axiom mit xy- und erhält leq -^ ein Widerspruch. abc - leq leq . Dies ist die einzige verbleibe Möglichkeit. abcliste Dies beweist das Lemma da _K neq _K Axiom in der Definition von Körper. Man nehme an dass mathbbC leq angeordnet ist. Wir betrachten i in mathbbC. Nach Linearität von leq Axiom haben wir zwei Fälle: abcliste abc leq i. Nach Axiom erhält man mit xyi leq i^ -. Das ist ein Widerspruch zum obigen Lemma. abc i leq . Nach Axiom erhält man mit x i y z -i leq -i. Aber dann leq -i^ - nach Axiom . abcliste Man hat gezeigt dass mathbbC leq kein angeordneten Körper sein kann.
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Zeigen Sie dass es keine lineare Ordnungsrelation auf mathbbC gibt die mathbbC zu einem angeordneten Körper macht.

Solution:
Wir zeigen zuerst dass falls leq die oben definierte Relation bezeichnet dann ist mathbbC leq kein angeordneter Körper. Seien z w i. Bemerke dass leq i da . Falls mathbbC leq ein angeordneter Körper wäre dann sollte aus Axiom i^ gelten aber i^ - und - und dies impliziert i^ . Das ist ein Widerspruch zur Definition von angeordneten Körper. Sei jetzt leq eine beliebige lineare Ordnungrelation auf mathbbC i.e. nicht zwing die obige Relation. Wir zeigen dass mathbbC leq kein angeordneter Körper ist. Man beweise das folge Lemma: Lemma. Sei K leq ein angeordneter Körper. Dann gilt -_K _K _K. Beweis. Nach Linearität von leq Axiom erhält man folge Fälle: abcliste abc leq und leq -. Man benutze Axiom mit x y und z - und erhält - leq ein Widerspruch. abc leq und - leq . Man benutze Axiom mit x - y und z und erhält leq ein Widerspruch. abc leq leq -. Man benutze Axiom mit xy- und erhält leq -^ ein Widerspruch. abc - leq leq . Dies ist die einzige verbleibe Möglichkeit. abcliste Dies beweist das Lemma da _K neq _K Axiom in der Definition von Körper. Man nehme an dass mathbbC leq angeordnet ist. Wir betrachten i in mathbbC. Nach Linearität von leq Axiom haben wir zwei Fälle: abcliste abc leq i. Nach Axiom erhält man mit xyi leq i^ -. Das ist ein Widerspruch zum obigen Lemma. abc i leq . Nach Axiom erhält man mit x i y z -i leq -i. Aber dann leq -i^ - nach Axiom . abcliste Man hat gezeigt dass mathbbC leq kein angeordneten Körper sein kann.
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Attributes & Decorations
Tags
analysis, eth, hs22
Difficulty
(4, default)
Points
0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Proof
Decoration
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