Exercise:
Sei f:Omega rightarrow mathbbR konkav x_ ...x_n in mathbbR und lambda_ ...lambda_n mit limits_i^nlambda_i . Beweisen Sie die Ungleichung von Jensen fleft limits_i^n lambda_i x_i right geq limits_i^n lambda_i fx_i

Solution:
Beweis mittels vollständiger Induktion über n: underlineInduktionsverankerung: n: Die Aussage für n ist flambda_x_+lambda_x_ geq lambda_fx_+lambda_fx_. Für n entspricht also die Ungleichung von Jensen gerade der Definition von Konkavität von f. underlineInduktionsschritt n Rightarrow n+: Wir nehmen an dass alle n-Tpel x_ ... x_n in mathbbR und lambda_ ...lambda_n mit limits_i^nlambda_i die Ungleichung von Jensen wahr ist Induktionsannahme d.h. fleft limits_i^n lambda_i x_i right geq limits_i^n lambda_i fx_i Seien nun x_ ... x_n x_n+ in mathbbR und lambda_ ...lambda_n lambda_n+ mit limits_i^n+lambda_i . Man kann limits_i^n+lambda_i auffassen als limits_i^n+lambda_i limits_i^nlambda_i + lambda_n+ lambda + lambda_n+ . Hierbei verwet man mit lambda limits_i^nlambda_i. Es gilt nun fleft limits_i^n+ lambda_i x_i right fleft limits_i^n lambda_i x_i + lambda_n+x_n+ right fleftfraclambdalambda limits_i^n lambda_i x_i + lambda_n+x_n+ right flambda y+lambda_n+x_n+ Bei der letzten Zeile wurde yfrac_i^n lambda_i x_ilambda definiert. Jetzt enthält f nur zwei Variablen im Argument s.d. man die Verankerung Definition der Konkavität verwen kann. Wegen lambda+lambda_n+ gilt also flambda y+lambda_n+x_n+ geq lambdafy+lambda_n+fx_n+. Für den Term fy dürfen wir die Induktionsannahme benutzen fy fleft limits_i^n fraclambda_ilambda x_i right geq limits_i^n fraclambda_ilambda fx_i. Es folt somit fleft limits_i^n+ lambda_i x_i right fleft limits_i^n lambda_i x_i + lambda_n+x_n+ right fleftfraclambdalambda limits_i^n lambda_i x_i + lambda_n+x_n+ right flambda y+lambda_n+x_n+ &geq lambda fy+lambda_n+fx_n+ lambda fleftlimits_i^nfraclambda_ilambda x_iright+lambda_n+fx_n+ &geq lambda limits_i^nfraclambda_ilambda x_i fx_i+lambda_n+fx_n+ limits_i^n+lambda_ifx_i. Das ist genau die Ungleichung von Jensen für n+.