Riemann-Integral und Nullmengen
Question
Solution
Short
Video
\(\LaTeX\)
No explanation / solution video to this exercise has yet been created.
Visit our YouTube-Channel to see solutions to other exercises.
Don't forget to subscribe to our channel, like the videos and leave comments!
Visit our YouTube-Channel to see solutions to other exercises.
Don't forget to subscribe to our channel, like the videos and leave comments!
Exercise:
Sei Qsubseteq mathbbR^n- ein abgeschlossener Quader und f:Qrightarrow mathbbR R-bar. Dann ist der Graph textgraphfxfxmid xin Q von f eine Nullmenge in mathbbR^n.
Solution:
Beweis. Sei Mtextsup|fQ|. Da f als R-bar vorrausgesetzt wurde existiert für jedes epsilon eine Zerlegung zeta von Q s.d. Ofzeta-Ufzeta epsilon. Zu jedem Q_alphasqsubset zeta definiert man den Quader P_alpha Q_alphatimes textinffQ_alpha textsupfQ_alpha und erhält textgraphf subseteq bigcup_Q_alphasqsubset zetaP_alpha cup bigcup_Q_alphasqsubset zeta partial Q_alphatimes -M M wobei die zweite Vereinigung sozusagen dem Raster R_zetabigcup_Q_alphasqsubset zetapartial Q_alphasubseteq mathbbR^n- der Zerlegung zeta von Q entspricht. Nun bemerkt man dass _Q_alphasqsubset zetatextvolP_alpha Ofzeta-Ufzeta epsilon. Des Weiteren ist R_zeta als Teilmenge einer lichen vereinigung von Hyperebenen eine Nullmenge in mathbbR^n-. Daher kann man R_zetatimes -MM mit einer ebenso lichen Vereinigung von weiteren Quadern überdecken deren Volumina in Summe auch kleiner als epsilon ist. Man erhält also dass textgraphf von lich vielen Quadern mit Summe der Volumina kleiner als epsilon überdeckt werden kann. Da epsilon beliebig war folgt die Proposition.
Sei Qsubseteq mathbbR^n- ein abgeschlossener Quader und f:Qrightarrow mathbbR R-bar. Dann ist der Graph textgraphfxfxmid xin Q von f eine Nullmenge in mathbbR^n.
Solution:
Beweis. Sei Mtextsup|fQ|. Da f als R-bar vorrausgesetzt wurde existiert für jedes epsilon eine Zerlegung zeta von Q s.d. Ofzeta-Ufzeta epsilon. Zu jedem Q_alphasqsubset zeta definiert man den Quader P_alpha Q_alphatimes textinffQ_alpha textsupfQ_alpha und erhält textgraphf subseteq bigcup_Q_alphasqsubset zetaP_alpha cup bigcup_Q_alphasqsubset zeta partial Q_alphatimes -M M wobei die zweite Vereinigung sozusagen dem Raster R_zetabigcup_Q_alphasqsubset zetapartial Q_alphasubseteq mathbbR^n- der Zerlegung zeta von Q entspricht. Nun bemerkt man dass _Q_alphasqsubset zetatextvolP_alpha Ofzeta-Ufzeta epsilon. Des Weiteren ist R_zeta als Teilmenge einer lichen vereinigung von Hyperebenen eine Nullmenge in mathbbR^n-. Daher kann man R_zetatimes -MM mit einer ebenso lichen Vereinigung von weiteren Quadern überdecken deren Volumina in Summe auch kleiner als epsilon ist. Man erhält also dass textgraphf von lich vielen Quadern mit Summe der Volumina kleiner als epsilon überdeckt werden kann. Da epsilon beliebig war folgt die Proposition.