Exercise:
Sei U subseteq mathbbR^n eine offene Teilmenge a b reelle Zahlen und f:Utimes abrightarrow mathbbR stetig. Dann definiert das Parameteregral Fx_a^b fxtddt für x in U eine stetige Funktion F:U rightarrow mathbbR. Falls zusätzlich die partiellen Ableitungen partial_kf für k...n existieren und auf ganz Utimesab stetig sind dann ist F stetig differenzierbar und es gilt partial_kFx_a^b partial_kfxtddt für alle x in U und k in ...n.

Solution:
Beweis. Man beachte zuerst dass auf Grund der Stetigkeit von f die Abbildung t in ab mapsto fxt für jedes x in U stetig und somit R-bar ist Satz .. Sei nun x_ in U und eta so dass K overlineB_etax_ subseteq U. Nach dem Satz von HeinBorel Satz . ist Ktimes ab kompakt und f|_Ktimesab ist gleichmässig stetig nach Proposition .. Sei also epsilon . Dann existiert ein delta in eta so dass für alle x in B_deltax_ und t in ab die Abschätzung |fxt-fx_t| epsilon gilt. Dies impliziert |Fx-Fx_| leq _a^b |fxt-fx_t|ddt epsilonb-a für alle x in B_deltax_ und beweist Stetigkeit von F bei x_. Sei nun k in ...n und angenommen f besitzt die stetige partielle Ableitung partial_kf. Seien x_ in U und KB_etax_subseteq U wie oben. Für s in -eta etabackslash und t in ab existiert nach dem MWS Satz . ein xi_ts in mit fracfx_+se_kt-fx_tspartial_kfx_+xi_tsse_kt. Man wählt für ein epsilon mittels der gleichmässigen Stetigkeit von partial_kf auf Ktimes ab ein delta in eta so dass x in B_deltax_ die Abschätzung |partial_kfxt-partial_kfx_t| epsilon impliziert. Gemeinsam ergibt sich nun für s in -delta deltabackslash left| fracFx_+se_k-Fx_s-_a^b partial_kfx_tddtright| left| _a^b left fracfx_+se_kt-fx_ts-partial_kfx_trightddtright| left| _a^b partial_kfx_+xi_tsse_kt-partial_kfx_tddtright| &leq epsilon b-a Da epsilon beliebig war folgt partial_kFx_lim limits_s rightarrow fracFx_+se_k-Fx_s_a^b partial_kfx_tddt Nach dem ersten Teil des Satzes ist partial_kF stetig und da k in ...n beliebig war folgt stetige Differenzierbarkeit von F aus Satz ..