Satz von Heine-Borel
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Exercise:
Eine Teilmenge Ksubseteq mathbbR^d für dgeq ist genau dann kompakt wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist. Insbesondere besitzt jede beschränkte Folge in mathbbR^d eine konvergente Teilfolge.
Solution:
Beweis. Ist K kompakt dann ist K nach Lemma . Longrightarrow abgeschlossen und beschränkt. Für die Umkehrung Longleftarrow zeigt man dass K folgenkompakt ist. Sei also x_n_n eine Folge in K. Da K beschränkt ist ist die Folge beschränkt. Man konstruiert nun iterativ eine konvergente Teilfolge von x_n_n. Da x_n_n beschränkt ist ist auch die Folge der Komponenten pi_x_n_n beschränkt und besitzt somit nach Satz . eine konvergente Teilfolge pi_x_n_k_k. Nach demselben Arugument besitzt die Folge der Komponenten pi_x_n_k_n eine konvergente Teilfolge um die Notation zu vereinfachen bezeichnet man diese wieder mit pi_x_n_k_k. Setzt man dieses Argument fort erhält man eine Teilfolge x_n_k_k mit der Eigenschaft dass für alle jin ...d die Folge der Komponenten pi_jpi_x_n_k_k. Nach Proposition . ist somit auch x_n_k_k konvergent. Der Grenzwert xin mathbbR^d dieser Teilfolge muss in K liegen da K abgeschlossen ist Lemma .. Dies beweist dass jede Folge in K eine konvergente Teilfolge besitzt also ist K kompakt. Ist x_n_n eine beschränkte Folge in mathbbR^d so kann man x_n_n als Folge in einem abgeschlossenen Ball auffassen womit auch die letzte Aussage des Satzes folgt.
Eine Teilmenge Ksubseteq mathbbR^d für dgeq ist genau dann kompakt wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist. Insbesondere besitzt jede beschränkte Folge in mathbbR^d eine konvergente Teilfolge.
Solution:
Beweis. Ist K kompakt dann ist K nach Lemma . Longrightarrow abgeschlossen und beschränkt. Für die Umkehrung Longleftarrow zeigt man dass K folgenkompakt ist. Sei also x_n_n eine Folge in K. Da K beschränkt ist ist die Folge beschränkt. Man konstruiert nun iterativ eine konvergente Teilfolge von x_n_n. Da x_n_n beschränkt ist ist auch die Folge der Komponenten pi_x_n_n beschränkt und besitzt somit nach Satz . eine konvergente Teilfolge pi_x_n_k_k. Nach demselben Arugument besitzt die Folge der Komponenten pi_x_n_k_n eine konvergente Teilfolge um die Notation zu vereinfachen bezeichnet man diese wieder mit pi_x_n_k_k. Setzt man dieses Argument fort erhält man eine Teilfolge x_n_k_k mit der Eigenschaft dass für alle jin ...d die Folge der Komponenten pi_jpi_x_n_k_k. Nach Proposition . ist somit auch x_n_k_k konvergent. Der Grenzwert xin mathbbR^d dieser Teilfolge muss in K liegen da K abgeschlossen ist Lemma .. Dies beweist dass jede Folge in K eine konvergente Teilfolge besitzt also ist K kompakt. Ist x_n_n eine beschränkte Folge in mathbbR^d so kann man x_n_n als Folge in einem abgeschlossenen Ball auffassen womit auch die letzte Aussage des Satzes folgt.