Exercise:
Sei Usubseteq mathbbR^n offen f:Urightarrow mathbbR zweimal stetig differenzierbar x_in U ein kritischer Punkt und Qh_ij^n partial_ipartial_j fx_h_ih_j die quadratische Form assoziiert zur HessMatrix Hx von f bei x_. Dann gilt itemize item Ist Q positiv definit so nimmt f bei x_ ein striktes lokales Minimum an. item Ist Q negativ definit so nimmt f bei x_ ein striktes lokales Maximum an. item Ist Q indefinit so hat f bei x_ kein lokales Extremum. itemize Um sich die obigen Aussagen zu merken hilft es sich einfache Beispiele zu merken: itemize item fxyx^+y^ hat ein lokales Minimum bei . item fxy-x^-y^ hat ein lokales Maximum bei . item fxyx^-y^ hat kein lokales Extremum bei . Allerdings ist ein kritischer Punkt von f auch Sattelpunkt genannt. itemize

Solution:
Beweis. Nach Korollar . gilt fx_+h-fx_frac||h||^leftQleftQfrach||h||right +alphax_hright für alphax_ho für hrightarrow . Falls Q positiv definit ist dann gilt Qw für alle win mathbbS^n-vin mathbbR^n | ||v||. Da mathbbS^n- nach dem Satz von HeinBorel Satz . kompakt ist und Q stetig ist existiert daher ein c mit Qwgeq c für alle win mathbbS^n-. Es existiert weiter ein delta so dass der Fehlerterm alphax_h in im Absolutbetrag kleiner als fracc ist für hin mathbbR^n mit ||h|| delta. Es folt daher mit dass fx_+h-fx_geqfrac||h||^leftQleftQfrach||h||right -fraccrightgeq fracc||h||^ für alle hin B_deltabackslash gilt wodurch f in x_ ein striktes lokales Minimum annimmt. Falls Q negativ definit ist so ersetzt man f durch -f womit Q durch -Q ersetzt wird. Die quadratische Form -Q ist aber positiv definit und somit nimmt -f in x_ ein striktes lokales Minimum an was die Aussage beweist. Falls Q indefinit ist so existieren w_- w_+in mathbbS^n- so dass Qw_- und Qw_+ . Für hinreich kleine sin mathbbRbackslash ist dann |alphas_ sw_-| frac|Qw_-| quad |alphas_ sw_+| frac|Qw_+| und damit fx_+sw_--fx_ fracs^left Qw_-+frac|Qw_-|right fx_+sw_+-fx_ fracs^left Qw_+-frac|Qw_+|right Daher nimmt f bei x_ weder ein lokales Minimum noch ein lokales Maximum an.