Mehrdimensionale Ableitung konstanter Funktionen
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Exercise:
Sei Usubseteq mathbbR^n ein Gebiet und sei f:Urightarrow mathbbR^m differenzierbar mit textD_x_f für alle xin U. Dann ist f konstant.
Solution:
Beweis. Es genügt den Fall m zu zeigen. Man nimmt an dass U nichtleer ist und wählt ein x_in U. Man betrachtet U'xin U|fxfx_ Da f stetig ist ist U' eine abgeschlossene Teilmenge von U Proposition .. Des Weiteren folgt aus der Annahme und Satz . auch fyfxfx_. Also ist yin U' und da yin B_epsilonx beliebig war ist B_epsilonxsubseteq U'. Da aber U zusammenhäng ist und U' nicht-leer folgt U'U und damit auch das Korollar.
Sei Usubseteq mathbbR^n ein Gebiet und sei f:Urightarrow mathbbR^m differenzierbar mit textD_x_f für alle xin U. Dann ist f konstant.
Solution:
Beweis. Es genügt den Fall m zu zeigen. Man nimmt an dass U nichtleer ist und wählt ein x_in U. Man betrachtet U'xin U|fxfx_ Da f stetig ist ist U' eine abgeschlossene Teilmenge von U Proposition .. Des Weiteren folgt aus der Annahme und Satz . auch fyfxfx_. Also ist yin U' und da yin B_epsilonx beliebig war ist B_epsilonxsubseteq U'. Da aber U zusammenhäng ist und U' nicht-leer folgt U'U und damit auch das Korollar.