Reparametrisierungen eines Weges
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Exercise:
Sei gamma:abrightarrow mathbbR^d ein stetig differenzierbarer Weg für a b. Dann hat jede Reparametrisierung von gamma dieselbe Bogenlänge. Falls gamma regulär ist gibt es eine Reparametrisierung von gamma mit Einheitsgeschwindigkeit welche auch die Parametrisierung nach Bogenlänge genannt wird.
Solution:
Beweis. Sei lefttildea tildebright ein kompaktes Intervall mit Endpunkten tildea tildeb und psi: lefttildea tildebrightrightarrow ab eine stetig idfferenzierbare monoton wachse bijektive Funktion. Dann gilt Lgamma circ psi_tildea^tildeb sqrtgamma_ circ psi's^+...+gamma_d circ psi's^dds _tildea^tildeb sqrtdotgamma_psis^psi's^+...+dotgamma_dpsis^psi's^dds _tildea^tildeb sqrtdotgamma_psis^+...+dotgamma_dpsis^psi'sdds _a^b sqrtdotgamma_t^+...+dotgamma_dt^ddt Lgamma. Für die zweite Aussage konstruiert man nun eine geeignete Funktion psi wie oben. Sei phi:abrightarrow Lgamma tmapsto _a^t sqrtdotgamma_s^+...+dotgamma_ds^dds. Wegen dotphitsqrtdotgamma_t^+...+dotgamma_dt^ für alle tin ab sowie phia und phibLgamma ist phi:abrightarrow Lgamma eine streng monoton wachse stetig differenzierbare C^ Bijektion glqq bij.+monoton streng monotongrqq. Insbesondere ist psi phi^-:Lgammarightarrow ab ebenfalls streng monoton wachs und stetig differenzierbar Satz . Differenzierbarkeit der inversen Funktion. Zur Zeit sin Lgamma berechnet man nun die Geschwindigkeit von gamma circ psi. ist tpsis so gilt wegen psi's auch sqrtgamma_ circ psi's^+...+gamma_d circ psi's^ sqrtdotgamma_t^psi's^+...+dotgamma_dt^psi's^ psi'ssqrtdotgamma_t^+...+dotgamma_dt^ fracdotphitsqrtdotgamma_t^+...+dotgamma_dt^ . Somit hat die Reparametrisierung gamma circ psi die gewünschte Eigenschaft.
Sei gamma:abrightarrow mathbbR^d ein stetig differenzierbarer Weg für a b. Dann hat jede Reparametrisierung von gamma dieselbe Bogenlänge. Falls gamma regulär ist gibt es eine Reparametrisierung von gamma mit Einheitsgeschwindigkeit welche auch die Parametrisierung nach Bogenlänge genannt wird.
Solution:
Beweis. Sei lefttildea tildebright ein kompaktes Intervall mit Endpunkten tildea tildeb und psi: lefttildea tildebrightrightarrow ab eine stetig idfferenzierbare monoton wachse bijektive Funktion. Dann gilt Lgamma circ psi_tildea^tildeb sqrtgamma_ circ psi's^+...+gamma_d circ psi's^dds _tildea^tildeb sqrtdotgamma_psis^psi's^+...+dotgamma_dpsis^psi's^dds _tildea^tildeb sqrtdotgamma_psis^+...+dotgamma_dpsis^psi'sdds _a^b sqrtdotgamma_t^+...+dotgamma_dt^ddt Lgamma. Für die zweite Aussage konstruiert man nun eine geeignete Funktion psi wie oben. Sei phi:abrightarrow Lgamma tmapsto _a^t sqrtdotgamma_s^+...+dotgamma_ds^dds. Wegen dotphitsqrtdotgamma_t^+...+dotgamma_dt^ für alle tin ab sowie phia und phibLgamma ist phi:abrightarrow Lgamma eine streng monoton wachse stetig differenzierbare C^ Bijektion glqq bij.+monoton streng monotongrqq. Insbesondere ist psi phi^-:Lgammarightarrow ab ebenfalls streng monoton wachs und stetig differenzierbar Satz . Differenzierbarkeit der inversen Funktion. Zur Zeit sin Lgamma berechnet man nun die Geschwindigkeit von gamma circ psi. ist tpsis so gilt wegen psi's auch sqrtgamma_ circ psi's^+...+gamma_d circ psi's^ sqrtdotgamma_t^psi's^+...+dotgamma_dt^psi's^ psi'ssqrtdotgamma_t^+...+dotgamma_dt^ fracdotphitsqrtdotgamma_t^+...+dotgamma_dt^ . Somit hat die Reparametrisierung gamma circ psi die gewünschte Eigenschaft.