Satz von Schwarz
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Exercise:
Sei U subseteq mathbbR^n offen und f:U rightarrow mathbbR eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Dann gilt für alle jk in ...n partial_jpartial_kfpartial_kpartial_jf auf ganz U.
Solution:
Beweis. Es genügt den Fall n und j k zu betrachten der allgemeine Fall ist nur in der Notation schwiereiger und folgt auch aus dem betrachteten Spezialfall. Für x in U und ein genüg kleines h s.d. x_+t_hx_+t_hin U für alle t_t_ in definiert man eine Funktion F durch Fhfx_+hx_+h-fx_+hx_-fx_x_+h+fx_x_ Weiter betrachtet man für ein genüg kleines aber festes h in die nach der Kettenregel differenzierbare Funktion t in mapsto phitfx_+thx_+h-fx_+thx_ und erhält Fhphi-phiphi'xi_partial_fx_+xi_hx_+h-partial_fx_+xi_hx_h für ein xi_ in nach dem eindimensionalen MWS angewet auf die Hilfsfunktion phi. Eine nochmalige Anwungen des eindimensionalen MWS auf die Funktion psi:t in mapsto partial_fx_+xi_hx_+th ergibt gemeinsam mit der Kettenregel Fhpartial_partial_fx_+xi_'hx_+xi_'hh^. Man dividiert nun durch h^ und erhält partial_partial_fx_+xi_hx_+xi_hpartial_partial_fx_+xi_'hx_+xi_'hh^. Des Weiteren gilt wegen xi_xi_xi_'xi_' in dass xi_hxi_h und xi_'hxi_'h beide gegen streben wenn h rightarrow . Also folgt auf Grund der Stetigkeit beider partiellen Ableitungen partial_partial_fxpartial_partial_fx wie gewünscht.
Sei U subseteq mathbbR^n offen und f:U rightarrow mathbbR eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Dann gilt für alle jk in ...n partial_jpartial_kfpartial_kpartial_jf auf ganz U.
Solution:
Beweis. Es genügt den Fall n und j k zu betrachten der allgemeine Fall ist nur in der Notation schwiereiger und folgt auch aus dem betrachteten Spezialfall. Für x in U und ein genüg kleines h s.d. x_+t_hx_+t_hin U für alle t_t_ in definiert man eine Funktion F durch Fhfx_+hx_+h-fx_+hx_-fx_x_+h+fx_x_ Weiter betrachtet man für ein genüg kleines aber festes h in die nach der Kettenregel differenzierbare Funktion t in mapsto phitfx_+thx_+h-fx_+thx_ und erhält Fhphi-phiphi'xi_partial_fx_+xi_hx_+h-partial_fx_+xi_hx_h für ein xi_ in nach dem eindimensionalen MWS angewet auf die Hilfsfunktion phi. Eine nochmalige Anwungen des eindimensionalen MWS auf die Funktion psi:t in mapsto partial_fx_+xi_hx_+th ergibt gemeinsam mit der Kettenregel Fhpartial_partial_fx_+xi_'hx_+xi_'hh^. Man dividiert nun durch h^ und erhält partial_partial_fx_+xi_hx_+xi_hpartial_partial_fx_+xi_'hx_+xi_'hh^. Des Weiteren gilt wegen xi_xi_xi_'xi_' in dass xi_hxi_h und xi_'hxi_'h beide gegen streben wenn h rightarrow . Also folgt auf Grund der Stetigkeit beider partiellen Ableitungen partial_partial_fxpartial_partial_fx wie gewünscht.