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Exercise:
Sei Usubseteq mathbbR^n offen und sei f:Urightarrow mathbbR^m bei x_in U differenzierbar. Dann existiert für jedes vin mathbbR^n die Ableitung von f entlang v und es gilt partial_v fx_textD_x_fv. Insbesondere ist die totale Ableitung textD_x_fv eindeutig durch die partiellen Ableitungen bestimmt und es gilt textD_x_fpartial_fx_...partial_nfx_in textMat_mnmathbbR wobei letzteres auch die bf Jacobi-Matrix von f bei x_ genannt wird.

Solution:
Beweis. Nach Annahme existiert die totale Ableitung textD_x_f und es gilt fx_+hfx_+textD_x_fh+o||h|| für hrightarrow . Man setzt hsv für srightarrow und vin mathbbR^n womit gilt partial_vfx_limlimits_srightarrow fracfx_+sv-fx_slimlimits_srightarrow textD_x_fv+otextD_x_fv. Also existiert die Ableitungen von f entlang dem beliebigen Vektor v ist x_. Insbesonderen existieren alle partiellen Ableitung von f bei x_ und die partielle Ableitung in der j-ten Richtung für jin ...n stellt die j-te Spalte der Matrix textD_x_f dar wie behauptet.
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Sei Usubseteq mathbbR^n offen und sei f:Urightarrow mathbbR^m bei x_in U differenzierbar. Dann existiert für jedes vin mathbbR^n die Ableitung von f entlang v und es gilt partial_v fx_textD_x_fv. Insbesondere ist die totale Ableitung textD_x_fv eindeutig durch die partiellen Ableitungen bestimmt und es gilt textD_x_fpartial_fx_...partial_nfx_in textMat_mnmathbbR wobei letzteres auch die bf Jacobi-Matrix von f bei x_ genannt wird.

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Beweis. Nach Annahme existiert die totale Ableitung textD_x_f und es gilt fx_+hfx_+textD_x_fh+o||h|| für hrightarrow . Man setzt hsv für srightarrow und vin mathbbR^n womit gilt partial_vfx_limlimits_srightarrow fracfx_+sv-fx_slimlimits_srightarrow textD_x_fv+otextD_x_fv. Also existiert die Ableitungen von f entlang dem beliebigen Vektor v ist x_. Insbesonderen existieren alle partiellen Ableitung von f bei x_ und die partielle Ableitung in der j-ten Richtung für jin ...n stellt die j-te Spalte der Matrix textD_x_f dar wie behauptet.
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Attributes & Decorations
Tags
analysis, beweis, differentialrechnung, eth, fs23, matrix, proof
Difficulty
(3, default)
Points
0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Proof
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