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Exercise:
Sei Usubseteq mathbbR^n offen und f:Urightarrow mathbbR eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Dann gilt für alle xin U fx+hfx+langle nabla fxhrangle + O||h||^ und genauer fx+hfx+langle nabla fxhrangle + frach^t Hxh + o||h||^ für hrightarrow wobei Hx wieder die HessMatrix von f bei x darstellt.

Solution:
Beweis. Die erste Gelichung folgt direkt aus Satz .. Für die zweite bemerkt man zuerst dass das Restglied R_x^f nach Satz . durch R_x^f _^ -th^tHx+thhddt gegeben ist wobei Hx wieder die HessMatrix von f bei xin U bezeichnet. Für hrightarrow unterscheidet sich wegen der Stetigkeit der zweiten Ableitungen Hx+th um o von Hx und die implizite Konstante ist unabhängig von tin . Also gilt R_x^fh_^ -t^t Hx+thhddt _^ -t^t Hx+ohddt h^tHxh_^ -tddt+o||h||^ frach^tHxh+o||h||^ für hrightarrow .
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Sei Usubseteq mathbbR^n offen und f:Urightarrow mathbbR eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Dann gilt für alle xin U fx+hfx+langle nabla fxhrangle + O||h||^ und genauer fx+hfx+langle nabla fxhrangle + frach^t Hxh + o||h||^ für hrightarrow wobei Hx wieder die HessMatrix von f bei x darstellt.

Solution:
Beweis. Die erste Gelichung folgt direkt aus Satz .. Für die zweite bemerkt man zuerst dass das Restglied R_x^f nach Satz . durch R_x^f _^ -th^tHx+thhddt gegeben ist wobei Hx wieder die HessMatrix von f bei xin U bezeichnet. Für hrightarrow unterscheidet sich wegen der Stetigkeit der zweiten Ableitungen Hx+th um o von Hx und die implizite Konstante ist unabhängig von tin . Also gilt R_x^fh_^ -t^t Hx+thhddt _^ -t^t Hx+ohddt h^tHxh_^ -tddt+o||h||^ frach^tHxh+o||h||^ für hrightarrow .
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Attributes & Decorations
Tags
analysis, beweis, differentialrechnung, eth, fs23, proof, stetig
Difficulty
(3, default)
Points
0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Proof
Decoration
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