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Exercise:
Sei U subseteq mathbbR^n offen und f:U rightarrow mathbbR diffbar. Sei x_ in U und h in mathbbR^n. Falls x_+th in U für alle t in dann gilt fx_+h-fx_textD_xifhpartial_hfxi für ein xix_+t_xih mit t_xi in . In Worten ausgedrückt existiert also entlang des geraden Weges zwischen x_ und x_+h ein Punkt wo die Ableitung entlang des durch den geraden Weg gegebenen Vektors gerade die Differenz der Funktionswerte an den Randpunkten des Weges ist.

Solution:
Beweis. Man bemerkt dass die Ableitung des geraden Weges t in mathbbR mapsto x_+th für vorgegebene x_h in mathbbR^n bei jedem t gleich h ist. Daher erfüllt die Funktion g:t in mapsto fx_+th in mathbbR auf Grund der Kettenregel in Satz . alle Voraussetungen des eindimensionalen MWS. Also existiert t_xi in mit g-gg't_xitextD_x_+t_xihfh nach der Kettenregel und somit fx_+h-fxg-gg't_xitextD_xifh für xix_+t_xih.
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Sei U subseteq mathbbR^n offen und f:U rightarrow mathbbR diffbar. Sei x_ in U und h in mathbbR^n. Falls x_+th in U für alle t in dann gilt fx_+h-fx_textD_xifhpartial_hfxi für ein xix_+t_xih mit t_xi in . In Worten ausgedrückt existiert also entlang des geraden Weges zwischen x_ und x_+h ein Punkt wo die Ableitung entlang des durch den geraden Weg gegebenen Vektors gerade die Differenz der Funktionswerte an den Randpunkten des Weges ist.

Solution:
Beweis. Man bemerkt dass die Ableitung des geraden Weges t in mathbbR mapsto x_+th für vorgegebene x_h in mathbbR^n bei jedem t gleich h ist. Daher erfüllt die Funktion g:t in mapsto fx_+th in mathbbR auf Grund der Kettenregel in Satz . alle Voraussetungen des eindimensionalen MWS. Also existiert t_xi in mit g-gg't_xitextD_x_+t_xihfh nach der Kettenregel und somit fx_+h-fxg-gg't_xitextD_xifh für xix_+t_xih.
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Tags
analysis, beweis, eth, fs23, proof
Difficulty
(4, default)
Points
0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Proof
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