Notwendige Bedingungen für Extrema mit Nebenbedingungen
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Exercise:
Sei Usubseteq mathbbR^n offen und Msubseteq U eine Teilmannigfaltigkeit von mathbbR^n. Weiter sei f:Urightarrow mathbbR eine differenzierbare Funktion. Angenommen f|_M nimmt in pin M ein lokales Extremum an. Dann ist nabla fp ein Normalenvektor an M bei p das heisst es gilt langle nabla fp vrangle für alle pvin textT_pM. Die Menge der Normalenvektoren an M bei p werden mit textT_pM^perppw|langle wvrangle forall pvin textT_pM bezeichnet. Genauso wie textT_pM bildet textT_pM^perp einen Unterraum von textT_pmathbbR^n . Wenn M eine k-dimensionale Teilmannigfaltigkeit ist dann hat textT_pM^perp die Dimension n-k.
Solution:
Beweis. Man betrachtet einen differenzierbaren Weg gamma :-epsilon epsilonrightarrow M mit gammap und epsilon . Da f in p ein lokales Extremum annimmmt nimmt fcirc gamma:-epsilon epsilonrightarrow mathbbR in ein lokales Extremum an. Daher gilt nach Proposition . und der Kettenregel fcirc gamma'langle nabla fpgamma'rangle. Da epsilon beliebig und gamma:-epsilon epsilonrightarrow M ein beliebiger Weg mit gammap war folgt daraus mit der Definition des Tangentialraums textT_pM die Proposition.
Sei Usubseteq mathbbR^n offen und Msubseteq U eine Teilmannigfaltigkeit von mathbbR^n. Weiter sei f:Urightarrow mathbbR eine differenzierbare Funktion. Angenommen f|_M nimmt in pin M ein lokales Extremum an. Dann ist nabla fp ein Normalenvektor an M bei p das heisst es gilt langle nabla fp vrangle für alle pvin textT_pM. Die Menge der Normalenvektoren an M bei p werden mit textT_pM^perppw|langle wvrangle forall pvin textT_pM bezeichnet. Genauso wie textT_pM bildet textT_pM^perp einen Unterraum von textT_pmathbbR^n . Wenn M eine k-dimensionale Teilmannigfaltigkeit ist dann hat textT_pM^perp die Dimension n-k.
Solution:
Beweis. Man betrachtet einen differenzierbaren Weg gamma :-epsilon epsilonrightarrow M mit gammap und epsilon . Da f in p ein lokales Extremum annimmmt nimmt fcirc gamma:-epsilon epsilonrightarrow mathbbR in ein lokales Extremum an. Daher gilt nach Proposition . und der Kettenregel fcirc gamma'langle nabla fpgamma'rangle. Da epsilon beliebig und gamma:-epsilon epsilonrightarrow M ein beliebiger Weg mit gammap war folgt daraus mit der Definition des Tangentialraums textT_pM die Proposition.