Charakterisierung des Tangentialraums
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Exercise:
Sei Msubseteq mathbbR^n eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit von mathbbR^n pin M Usubseteq mathbbR^n offene Umgebung von p. abcliste abc Ist phi:Urightarrow Vsubseteq mathbbR^n ein Diffeomorphismus mit phip und phiUcap MVcapmathbbR^ktimes ^n-k so ist T_pMptimes textD_phi^-mathbbR^ktimes ^n-k. abc Ist Fin C^inftyUmathbbR^n-k und in mathbbR^n-k ein regulärer Wert von F s.d. Ucap MF^- wie in . wo ist T_pMptimes textkertextD_pF. Insbesondere ist T_pM ein k-dimensionaler Vektorraum. abcliste
Solution:
Beweis. abcliste abc Zu zeigen: gamma'| gamma:-epsilon epsilonrightarrow M textdifferenzierbar mit gammaptextD_phi^-mathbbR^ktimes^n-k Beweis von supseteq Sei vin mathbbR^ktimes^n-k. Wähle epsilon s.d. tvin V forall tin -epsilon epsilon definiere gamma:-epsilon epsilonrightarrow M gammatphi^-tv. Dann ist gamma'textD_phi^-v Kettenregel Beweis von subseteq Sei gamma:-epsilon epsilonrightarrow M differenzierbar mit gammap O.B.d.A. gammatin U forall tin -epsilon epsilon. Betrachte phicirc gamma: -epsilon epsilonrightarrow Vcap mathbbR^ktimes ^n-k. Dann ist phicirc gamma'textD_pphigamma' also gamma'textD_phi^-v. abc Für gamma:-epsilon epsilonrightarrow Mcap U mit gamma ist Fcirc gamma also textD_pFgamma'Fcirc gamma' d.h. gamma'in textkertextD_pF. Somit T_pMsubseteq ptimes textkerD_pF also glqqgrqq kn-textdimtextimtextD_pF da p regulärer Punkt. abcliste
Sei Msubseteq mathbbR^n eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit von mathbbR^n pin M Usubseteq mathbbR^n offene Umgebung von p. abcliste abc Ist phi:Urightarrow Vsubseteq mathbbR^n ein Diffeomorphismus mit phip und phiUcap MVcapmathbbR^ktimes ^n-k so ist T_pMptimes textD_phi^-mathbbR^ktimes ^n-k. abc Ist Fin C^inftyUmathbbR^n-k und in mathbbR^n-k ein regulärer Wert von F s.d. Ucap MF^- wie in . wo ist T_pMptimes textkertextD_pF. Insbesondere ist T_pM ein k-dimensionaler Vektorraum. abcliste
Solution:
Beweis. abcliste abc Zu zeigen: gamma'| gamma:-epsilon epsilonrightarrow M textdifferenzierbar mit gammaptextD_phi^-mathbbR^ktimes^n-k Beweis von supseteq Sei vin mathbbR^ktimes^n-k. Wähle epsilon s.d. tvin V forall tin -epsilon epsilon definiere gamma:-epsilon epsilonrightarrow M gammatphi^-tv. Dann ist gamma'textD_phi^-v Kettenregel Beweis von subseteq Sei gamma:-epsilon epsilonrightarrow M differenzierbar mit gammap O.B.d.A. gammatin U forall tin -epsilon epsilon. Betrachte phicirc gamma: -epsilon epsilonrightarrow Vcap mathbbR^ktimes ^n-k. Dann ist phicirc gamma'textD_pphigamma' also gamma'textD_phi^-v. abc Für gamma:-epsilon epsilonrightarrow Mcap U mit gamma ist Fcirc gamma also textD_pFgamma'Fcirc gamma' d.h. gamma'in textkertextD_pF. Somit T_pMsubseteq ptimes textkerD_pF also glqqgrqq kn-textdimtextimtextD_pF da p regulärer Punkt. abcliste