Satz über den konstanten Rang
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Exercise:
Sei Usubseteq mathbbR^n offen leq m n und F:Urightarrow mathbbR^m eine glatte Funktion so dass F keine kritischen Punkte in Mpin U| Fp besitzt das heisst textD_pF hat Rang m für alle pin M beziehungsweise ist ein regulärer Wert von F. Dann ist M eine n-m-dimensionale Teilmannigfaltigkeit von mathbbR^n. Insbesondere zeigt der Satz dass für jedes n die Sphäre mathbbS^n-subseteq mathbbR^n eine Teilmannigfaltigkeit von mathbbR^n ist. In der Tat ist mathbbS^n-leftx_...x_n^tin mathbbR^n| Fx_...x_nright für F:x_...x_n^tin mathbbR^nmapsto x_^+...+x_n^- und der einzige kritische Punkt von F ist der Ursprung notin mathbbS^n-.
Solution:
Beweis. Sei pin M. Nach Voraussetzung ist der Rang der totalen Ableitung textD_pF gleich textminmnm. Wie zuvor identifiziert man textD_pF mit der Jacobi-Matrix textF_pFin textMat_mnmathbbR mit m Zeilen und n Spalten. Nach Annahme existieren m dieser Spalten welche gemeinsam eine invertierbare Matrix bilden. Wenn nötig vertauscht man die Koordinaten in mathbbR^n diese Abbildung wird Teil des Diffeomorphismus und bezeichnet die ersten kn-m Koordinaten mit x und die letzten m Koordinaten mit y. Durch diese Vertauschung kann man annehmen dass partial_yFp invertierbar ist. In anderen Worten erfüllt die Gleichung Fxy bei dem Punkt px_y_ und für ein geeignetes r mit B_rx_times B_ry_subseteq U die Voraussetzung des Satzes über implizite Funktionen Satz . und . und man erhält offene Umgebungen U_subseteq B_rx_ von x_ und V_subseteq B_ry_ von y_ so dass Mcap U_times V_textGraphf für eine glatte Funktion f:U_rightarrow V_. Man kann also U_pU_times V_ und den Diffeomorphismus durch phi_:U_times V_&rightarrow phi_U_times V_ xy&mapsto x y-fx definieren. Da pin M beliebig war beweist dies den Satz.
Sei Usubseteq mathbbR^n offen leq m n und F:Urightarrow mathbbR^m eine glatte Funktion so dass F keine kritischen Punkte in Mpin U| Fp besitzt das heisst textD_pF hat Rang m für alle pin M beziehungsweise ist ein regulärer Wert von F. Dann ist M eine n-m-dimensionale Teilmannigfaltigkeit von mathbbR^n. Insbesondere zeigt der Satz dass für jedes n die Sphäre mathbbS^n-subseteq mathbbR^n eine Teilmannigfaltigkeit von mathbbR^n ist. In der Tat ist mathbbS^n-leftx_...x_n^tin mathbbR^n| Fx_...x_nright für F:x_...x_n^tin mathbbR^nmapsto x_^+...+x_n^- und der einzige kritische Punkt von F ist der Ursprung notin mathbbS^n-.
Solution:
Beweis. Sei pin M. Nach Voraussetzung ist der Rang der totalen Ableitung textD_pF gleich textminmnm. Wie zuvor identifiziert man textD_pF mit der Jacobi-Matrix textF_pFin textMat_mnmathbbR mit m Zeilen und n Spalten. Nach Annahme existieren m dieser Spalten welche gemeinsam eine invertierbare Matrix bilden. Wenn nötig vertauscht man die Koordinaten in mathbbR^n diese Abbildung wird Teil des Diffeomorphismus und bezeichnet die ersten kn-m Koordinaten mit x und die letzten m Koordinaten mit y. Durch diese Vertauschung kann man annehmen dass partial_yFp invertierbar ist. In anderen Worten erfüllt die Gleichung Fxy bei dem Punkt px_y_ und für ein geeignetes r mit B_rx_times B_ry_subseteq U die Voraussetzung des Satzes über implizite Funktionen Satz . und . und man erhält offene Umgebungen U_subseteq B_rx_ von x_ und V_subseteq B_ry_ von y_ so dass Mcap U_times V_textGraphf für eine glatte Funktion f:U_rightarrow V_. Man kann also U_pU_times V_ und den Diffeomorphismus durch phi_:U_times V_&rightarrow phi_U_times V_ xy&mapsto x y-fx definieren. Da pin M beliebig war beweist dies den Satz.