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Exercise:
Sei X ein metrischer Raum und seien Y_Y_ zwei zusammenhänge Teilräume. Falls der Schnitt Y_cap Y_ nicht-leer ist dann ist die Vereinigung Y_cup Y_ zusammenhäng.

Solution:
Beweis. Sei A eine nicht-leere abgeschloffene Teilmenge von Y_cup Y_. Dann ist Acap Y_j eine abgeschloffene Teilmenge von Y_j für jin . Da A nicht-leer ist ist einer dieser beiden Schnitte nicht-leer - angenommen Acap Y_ ist nicht-leer. Da Y_ zusammenhäng ist folgt Acap Y_Y_ oder äquivalent Y_subseteq A. Da aber Y_cap Y_ neq varnothing folgt Acap Y_neq varnothing und somit genauso Acap Y_ Y_ und Y_subseteq A. Zusammenfass ergibt sich AY_cup Y_. Dies beweist dass Y_cup Y_ zusammenhäng ist.
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Sei X ein metrischer Raum und seien Y_Y_ zwei zusammenhänge Teilräume. Falls der Schnitt Y_cap Y_ nicht-leer ist dann ist die Vereinigung Y_cup Y_ zusammenhäng.

Solution:
Beweis. Sei A eine nicht-leere abgeschloffene Teilmenge von Y_cup Y_. Dann ist Acap Y_j eine abgeschloffene Teilmenge von Y_j für jin . Da A nicht-leer ist ist einer dieser beiden Schnitte nicht-leer - angenommen Acap Y_ ist nicht-leer. Da Y_ zusammenhäng ist folgt Acap Y_Y_ oder äquivalent Y_subseteq A. Da aber Y_cap Y_ neq varnothing folgt Acap Y_neq varnothing und somit genauso Acap Y_ Y_ und Y_subseteq A. Zusammenfass ergibt sich AY_cup Y_. Dies beweist dass Y_cup Y_ zusammenhäng ist.
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Attributes & Decorations
Tags
analysis, beweis, eth, fs23, proof, zusammenhängend
Difficulty
(3, default)
Points
0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Proof
Decoration
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