Exercise:
Sei U subseteq mathbbR^n offen und f:U rightarrow mathbbR eine d+-mal stetig differenzierbare Funktion. Sei x in U und h in mathbbR^n so dass x+th in U für alle t in . Dann gilt fx+h fx+_k^d frack!partial_h^kfx+R_xd^f h wobei das Integralrestglied R_xd^f durch R_xd^f h _^ frac-t^dd!partial_h^d+fx+thddt. gegeben ist. Insbesondere ist für h rightarrow fx+h fx+_k^d frack!partial_h^kfx+O||h||^d+. Dabei bezeichnet partial_h^kf die k-fache Ableitung von f entlang des Vektors h. Man erinnert daran dass partial_hfh_partial_f+...+h_npartial_nf. Auch die höheren Ableitungen partial_h^kf lassen sich als Linearkombinationen partieller Ableitungen der Ordnung k auffassen wenn man die Potenz formal ausmultipliziert. Zum Beispiel gilt für den quadratischen Term bei x in U partial_h^fxpartial_hh_partial_f+...+h_npartial_nfx _j^n h_jpartial_hpartial_jfx _ij^n h_ih_jpartial_ipartial_jfx h^tHxh für alle h in mathbbR^n wobei Hx wieder die HessMatrix der zweiten Ableitungen bei x bezeichnet. Wie im eindimensionalen Fall will man die Approximation in Gleichung oder auch die Taylor-Approximation d-ter Ordnung nennen.

Solution:
Beweis. Nach Annahme im Satz gilt x+th in U für alle t in oder sogar für t in einem etwas grösseren offenen Intervall. Man wet nun die eindimensionale Taylor-Approximation auf die Funktion phi:rightarrow mathbbR t mapsto fx+th an. Nach Theorem . erhält man für die Taylor Approximation um bei phiP_d^phi +_^phi^d+tfrac-t^dd!ddt wobei P_d^phi _k^d fracphi^kk!. Wet man die Kettenregel in Satz . auf phi an so erhält man für t in phi'ttextD_x+thfhpartial_hfx+thh_partial_fx+th+...+h_npartial_nfx+th Für die zweite Ableitung von phi nach t in für festes x und h ergibt sich ebenso phi''tpartial_h^fx+th. Per Induktion erhält man schlusslich phi^ktpartial_h^kfx+th für alle k in ...n und t in . Setzt man dies in und ein so ergibt sich der Satz. Für die letzte Aussage sei epsilon mit overlineB_epsilonx_ subseteq U so dass alle partiellen Ableitungen der Ordnung d+ auf overlineB_epsilonx_ beschränkt sind. Expandiert man die Notation partial_h^d+fx+th so erhält man eine liche Linearkombination der d+-ten partiellen Ableitungen die für ||h||leq epsilon und t in beschränkt sind wobei die Koeffizienten ein Produkt von d+ Koordinaten von hh_...h_n^t sind. Da |h_j|leq||h|| für j...n ergibt sich die behauptete Fehlerabschätzung durch diese liche Summe und die Dreiecksungleichung für das Riemann-Integral.