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Exercise:
Seien XY metrische Räume und f:Xrightarrow Y stetig. Falls X zusammenhäng ist dann ist das Bild fX ein zusammenhänger Teilraum von Y.

Solution:
Beweis. Man kann o.B.d.A. annehmen dass f:Xrightarrow Y surjektiv ist indem f:Xrightarrow Y durch die stetige surjektive Abbildung Xrightarrow fX xmapsto fx ersetzt. Angenommen Y ist nicht zusammenhäng. Dann existiert eine offene und abgeschlossene Teilmenge Asubseteq Y mit Aneq varnothing und Aneq Y. Das Urbild f^-A von A unter f ist somit nach Proposition . ebenfalls offen und abgeschlossen. Da aber X zusammenhäng ist muss entweder f^-Avarnothing oder f^-AX. Dann gilt aber Avarnothing respektive AY wegen Surjektivität von f was der Annahme an A widerspricht.
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Seien XY metrische Räume und f:Xrightarrow Y stetig. Falls X zusammenhäng ist dann ist das Bild fX ein zusammenhänger Teilraum von Y.

Solution:
Beweis. Man kann o.B.d.A. annehmen dass f:Xrightarrow Y surjektiv ist indem f:Xrightarrow Y durch die stetige surjektive Abbildung Xrightarrow fX xmapsto fx ersetzt. Angenommen Y ist nicht zusammenhäng. Dann existiert eine offene und abgeschlossene Teilmenge Asubseteq Y mit Aneq varnothing und Aneq Y. Das Urbild f^-A von A unter f ist somit nach Proposition . ebenfalls offen und abgeschlossen. Da aber X zusammenhäng ist muss entweder f^-Avarnothing oder f^-AX. Dann gilt aber Avarnothing respektive AY wegen Surjektivität von f was der Annahme an A widerspricht.
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Attributes & Decorations
Tags
analysis, beweis, eth, fs23, proof, stetigkeit, zusammenhängend
Difficulty
(3, default)
Points
0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Proof
Decoration
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