Exercise:
Sei r ein Radius und seinen x_ in mathbbR^n y_ in mathbbR^m Punkte. Man betrachtet die offene Teilmenge B_r^mathbbR^nx_times B_r^mathbbR^my_ xy in mathbbR^n times mathbbR^m |quad||x-x_||_ rquad textundquad ||y-y_||_ r von mathbbR^ntimes mathbbR^m. Sei F:B_r^mathbbR^nx_times B_r^mathbbR^my_rightarrow mathbbR^m eine stetige Funktion die die folgen drei Bedingungen erfüllt: itemize item Fx_y_. item Die partiellen Ableitungen partial_ykF:B_r^mathbbR^nx_times B_r^mathbbR^m y_rightarrow mathbbR^m existieren für alle k in ...m und sind auf B_r^mathbbR^nx_times B_r^mathbbR^m stetig. item Die totale Ableitung A bei y_ der Abbildung y in B_ry_ mapsto Fx_y ist invertierbar das heisst die Matrix A partial_ykF_jx_y__jkin textMat_mmmathbbR hat nicht-verschinde Determinate. itemize Dann existiert ein offener Ball U_B_alphax_ um x_ und ein offener Ball V_B_betay_ um y_ mit alpha beta in r und eine stetige Funktion f:U_ rightarrow V_ so dass für alle xyin U_ times V_ die Gleichung Fxy genau dann gilt wenn yfx gilt. Insbesondere ist fx_y_.

Solution:
Beweis. Da man zu einem jeweils fest gewählten x ein y mit Fxy suchen will wird die Notation F_xyFxy für xyin B_rx_times B_ry_ nützlich sein. Man verwet diese bereits um für ein festes x in B_rx_ die Hilfsfunktion T_x:y in B_ry_mapsto y-A^-F_xyin mathbbR^m zu definieren. Diese entspricht gerade der Iterationsvorschrift im Newton-Verfahren wobei man allerdings die Ableitung von F_x bei y schlicht durch AD_y_F_x_ ersetzt hat. Trotz dieser Änderungen bemerkt man dass für xyin B_rx_times B_ry_ die Gleichung Fxy zur Fixpunktgleichung T_xyy äquivalent ist. Die Abbildung T_x als Lipschitz-Kontraktion: Sei xin B_rx_. Nach Annahme und Satz . ist F_x und B_ry_ eine stetig differenzierbare Funktion womit nach der Kettenregel T_x ebenso stetig differenzierbar ist mit Ableitung textD_yT_xI_m-A^-textD_yT_xA^-A-textD_yF_x für y in B_ry_ wobei I_min textMat_mmmathbbR die Identitätsmatrix bezeichnet. Für xx_ und yy_ ergibt sich damit textD_y_T_x_A^-A-textD_y_F_x_ Auf Grund der angenommenen Stetigkeit von xyin B_rx_times B_ry_mapsto textD_yF_x existiert also ein delta in r so dass für alle xyB_deltax_times B_deltay_ die Abschätzung ||textD_yT_x||_textop leq frac gilt. Man zeigt dass dies die Lipschitz-Kontraktionseigenschaft impliziert. In der Tat folgt für x in B_deltax_ und y_y_ in B_deltay_ mit Hilfe des geraden Weges gamma:t in mapsto -ty_+ty_ von y_ und y_ mit Ableitung y_-y_ ||T_xy_-T_xy_||||T_x circ gamma-T_xcirc gamma|| left|left| _^ T_xcirc gamma' tddtright|right| &leq _^ ||textD_gammatT_xy_-y_||ddt leq _^ ||textD_gammatT_x||_textop||y_-y_||ddt &leq frac||y_-y_|| Sei nun beta fracdelta V_B_betay_ und YoverlineB_betay_. Man erhält also dass für jedes fest gewählte x in B_deltax_ die eingeschränkte Abbildung wieder mit T_x bezeichnet T_x:Y rightarrow mathbbR^m y mapsto T_xy y-A^-F_xy die eine Lipschitz-Kontraktion mit Lipschitz-Konstante frac ist. Um den Banachschen Fixpunktsatz anwen zu können muss man noch T_xY subseteq Y zeigen. Eine Selbstabbildung: Nach Stetigkeit von F und wegen Fx_y_ existiert ein alpha in delta so dass für alle x in overlineB_alphax_ die Abschätzung ||T_xy_-y_||||A^-Fxy_|| fracbeta gilt. Falls nun xin overlineB_alphax_ und y in Y overlineB_betay_ sind dann folgt ||T_xy_-y_||||T_xy-T_xy_+T_xy_-y_|| &leq ||T_xy-T_xy_||+||T_xy_-y_|| &leq frac||y-y_||+fracbeta leq fracbeta beta. Für x in overlineB_alphax_ und den oben definierten und nach Proposition . vollständigen metrischen Raum Y overlineB_betay_ gilt daher T_xYsubseteq Y. Aus dem Banachschen Fixpunktsatz Satz . folgt dass es einen eindeutig bestimmten Punkt y in Y mit T_xyy gibt. Auf Grund von gilt des Weiteren ||y-y_|| beta. Def. der Lösungsfunktion: Zusammenfass hat man also gezeigt dass es für jedes x in overlineB_alphax_ ein eindeutig bestimmtes yyxin overlineB_betay_ mit Fxy gibt welches zusätzlich auch y in overlineB_betay_ erfüllt. Dies definiert somit eine Funktion f: overlineB_alphax_ rightarrow B_betay_ mit der Eigenschaft Fxfx für alle x in overlineB_alphax_. Stetigkeit der Lösungsfunktion: Um die Stetigkeit von f zu zeigen wiederholt man obiges Argument für alle x in overlineB_alphax_ glqq gleichzeitiggrqq. Man betrachtet dazu die Teilmenge overlineYleft g:overlineB_alphax_ rightarrow Y | gquad textist stetig right subset CoverlineB_alphax_ mathbbR^m. Nach Satz . ist CoverlineB_alphax_mathbbR^m ausgestattet mit der Supremumsnorm ||g||_infty textsup_limitsx in overlineB_alphax_||gx|| ein vollständiger metrischer Raum. Da Y abgeschlossen ist folgt des Weiteren dass overlineY als abgeschlossene Teilmenge ebenso vollständig ist. Zu einer Funktion g in overlineY definiert nun die Funktion overlineTg:xin overlineB_alphax_ mapsto T_xgx gx-A^-Fxgx welche auf Grund der Stetigkeit von g in overlineY und F wiederum stetig ist. Für g in overlineY gilt nach Definition ||gx-y_|| leq beta für alle x in overlineB_alphax_ und somit gilt auf Grund von auch ||overlineTgx-y_|| beta für alle x in overlineB_alphax_ wodurch overlineTg ebenso in overlineY liegt. Schlusslich gilt für g_g_ in overlineY und x in overlineB_alphax_ ||overlineTg_-overlineTg_x||||T_xg_x-T_xg_x||leq frac||g_x-g_x||leq frac||g_-g_||_infty da T_x Lipschitz-stetig ist mit Lipschitz-Konstante frac. Dies zeigt dass overlineT:overlineYrightarrow overlineY eine Lipschitz-Kontraktion auf einem vollständigen metrischen Raum darstellt und damit nach dem Banachschen Fixpunktsatz einen eindeutig bestimmten Fixpunkt besitzt. Sei y overlineTy dieser Fixpunkt. Dann ist y stetig und für alle x in overlineB_alphax_ gilt yxoverlineTyxT_xyxin B_betay_ wodurch yxfx die eindeutige Lösung der Gleichung Fxy mit y in overlineB_betay_ sein muss.