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Exercise:
Seien XY zwei metrische Räume f:Xlongrightarrow Y eine stetige Funktion. Falls X kompakt ist so ist f glm stetig d.h. forall epsilon exists delta : textdfxfx' epsilon forall xx'in X textmit dxx' delta. iff fB_deltaxsubseteq B_epsilonfx forall xin X vgl. Satz . Heine für f:ablongrightarrow mathbbC

Solution:
Beweis. Sei epsilon f stetig Longrightarrow forall xin X exists rhox mit fB_rhoxxsubseteq B_fracepsilonfx. mathcalOB_rhoxx|xin X ist eine offene Überdeckung von X X ist kompakt. Longrightarrow exists LebesguZahl delta für mathcalO d.h. forall x_in X ist B_deltax_subseteq B_rhoxx für ein xin X somit fB_deltax_subseteq fB_rhoxxsubseteq B_fracepsilonfxsubseteq B_epsilonfx_
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Exercise:
Seien XY zwei metrische Räume f:Xlongrightarrow Y eine stetige Funktion. Falls X kompakt ist so ist f glm stetig d.h. forall epsilon exists delta : textdfxfx' epsilon forall xx'in X textmit dxx' delta. iff fB_deltaxsubseteq B_epsilonfx forall xin X vgl. Satz . Heine für f:ablongrightarrow mathbbC

Solution:
Beweis. Sei epsilon f stetig Longrightarrow forall xin X exists rhox mit fB_rhoxxsubseteq B_fracepsilonfx. mathcalOB_rhoxx|xin X ist eine offene Überdeckung von X X ist kompakt. Longrightarrow exists LebesguZahl delta für mathcalO d.h. forall x_in X ist B_deltax_subseteq B_rhoxx für ein xin X somit fB_deltax_subseteq fB_rhoxxsubseteq B_fracepsilonfxsubseteq B_epsilonfx_
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Attributes & Decorations
Tags
analysis, beweis, eth, fs23, kompaktheit, proof, stetigkeit, topologie
Difficulty
(3, default)
Points
0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Proof
Decoration
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