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Exercise:
Seien mnin mathbbN. Dann definiert ||||_textop in der Tat eine wohldefinierte Norm auf textMat_mnmathbbR und erfüllt ||Ax||_leq ||A||_textop||x||_ für alle xin mathbbR^n und alle Ain textMat_mnmathbbR. Des Weiteren gilt für kin mathbbN Ain textMat_mnmathbbR und Bin textMat_nkmathbbR ||AB||_textopleq ||A||_textop||B||_textop.

Solution:
Beweis. Nach dem Satz von Heine Borel Satz . ist overlineB_xin mathbbR^n| ||x||_leq kompakt. Da die Abbildung xin overlineB_mapsto ||Ax||_ als Verknüpfung stetiger Funktionen stetig ist ist sie auf Grund von Satz . d beschränkt womit ||A||_textop infty. Für die Definitheit sei Ain textMat_mnmathbbR mit ||A||_textop. Dann ist ||Ae_i||_leq ||A||_textop und somit Ae_i für alle iin ...n. Also ist A. Für lambdain mathbbR und Ain textMat_mnmathbbR ist ||lambda A||_textoptextsup_xin mathbbR^n:||x||_leq ||lambda Ax||_ textsup_xin mathbbR^n:||x||_leq |lambda|||Ax||_ |lambda|textsup_xin mathbbR^n:||x||_leq ||Ax||_ |lambda|||A||_textop Für ABin textMat_mnmathbbR und xin overlineB_ gilt ||A+Bx||_||Ax+Bx||_leq ||Ax||_+||Bx||_leq ||A||_textop+||B||_textop und somit nach Übergang zum Supremum ||A+B||_textopleq ||A||_textop+||B||_textop. Für die Ungleichung oben stellt man zuerst fest dass im Falle x nichts zu beweisen ist. Ist xneq so gilt ||Ax||_||Afracx||x||_||||x||_leq||A||_textop||x||_ Für die Ungleichung oben berechnet man zu xin overlineB_ mit oben ||ABx||_leq ||A||_textop||Bx||_leq ||A||_textop||B||_textop womit die Behauptung folgt.
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Seien mnin mathbbN. Dann definiert ||||_textop in der Tat eine wohldefinierte Norm auf textMat_mnmathbbR und erfüllt ||Ax||_leq ||A||_textop||x||_ für alle xin mathbbR^n und alle Ain textMat_mnmathbbR. Des Weiteren gilt für kin mathbbN Ain textMat_mnmathbbR und Bin textMat_nkmathbbR ||AB||_textopleq ||A||_textop||B||_textop.

Solution:
Beweis. Nach dem Satz von Heine Borel Satz . ist overlineB_xin mathbbR^n| ||x||_leq kompakt. Da die Abbildung xin overlineB_mapsto ||Ax||_ als Verknüpfung stetiger Funktionen stetig ist ist sie auf Grund von Satz . d beschränkt womit ||A||_textop infty. Für die Definitheit sei Ain textMat_mnmathbbR mit ||A||_textop. Dann ist ||Ae_i||_leq ||A||_textop und somit Ae_i für alle iin ...n. Also ist A. Für lambdain mathbbR und Ain textMat_mnmathbbR ist ||lambda A||_textoptextsup_xin mathbbR^n:||x||_leq ||lambda Ax||_ textsup_xin mathbbR^n:||x||_leq |lambda|||Ax||_ |lambda|textsup_xin mathbbR^n:||x||_leq ||Ax||_ |lambda|||A||_textop Für ABin textMat_mnmathbbR und xin overlineB_ gilt ||A+Bx||_||Ax+Bx||_leq ||Ax||_+||Bx||_leq ||A||_textop+||B||_textop und somit nach Übergang zum Supremum ||A+B||_textopleq ||A||_textop+||B||_textop. Für die Ungleichung oben stellt man zuerst fest dass im Falle x nichts zu beweisen ist. Ist xneq so gilt ||Ax||_||Afracx||x||_||||x||_leq||A||_textop||x||_ Für die Ungleichung oben berechnet man zu xin overlineB_ mit oben ||ABx||_leq ||A||_textop||Bx||_leq ||A||_textop||B||_textop womit die Behauptung folgt.
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Tags
abgeschlossen, beweis, eth, folge, fs23, kompaktheit, proof
Difficulty
(4, default)
Points
0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Proof
Decoration
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