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Exercise:
Seien XY metrische Räume und sei f:X rightarrow Y eine stetige Abbildung. Falls X kompakt ist so ist auch fX kompakt. bei offen/abgeschlossen genau anders rum

Solution:
Beweis. Gegeben eine Folge y_n_n in fX schreibt man fx_ny_n für n in mathbbN und x_n in X. Dann existiert eine konvergente Teilfolge x_n_k_k von x_n_n mit Grenzwert x_ da X kompakt ist. Wegen Folgenstetigkeit von f konvergiert also die Teilfolge fx_n_k_k y_n_k_k gegen fx_. Die Folge y_n_n war aber beliebig somit ist fX kompakt.
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Seien XY metrische Räume und sei f:X rightarrow Y eine stetige Abbildung. Falls X kompakt ist so ist auch fX kompakt. bei offen/abgeschlossen genau anders rum

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Beweis. Gegeben eine Folge y_n_n in fX schreibt man fx_ny_n für n in mathbbN und x_n in X. Dann existiert eine konvergente Teilfolge x_n_k_k von x_n_n mit Grenzwert x_ da X kompakt ist. Wegen Folgenstetigkeit von f konvergiert also die Teilfolge fx_n_k_k y_n_k_k gegen fx_. Die Folge y_n_n war aber beliebig somit ist fX kompakt.
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Attributes & Decorations
Tags
beweis, eth, folge, fs23, proof
Difficulty
(3, default)
Points
0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Proof
Decoration
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