Exercise:
Seien kmn geq U subseteq mathbbR^n offen V subseteq mathbbR^m offen. Weiter sei f:U rightarrow V bei x_ diffbar und g:V rightarrow mathbbR^k bei fx_ diffbar. Dann ist g circ f bei x_ diffbar und die totale Ableitung textD_x_g circ f bei x_ ist durch die Verknüpfungen der linearen Abbildungen textD_x_g circ f textD_fx_g circ textD_x_f gegeben. textD_fx_g mit ktimes m-Matrix und textD_x_f mit mtimes n-Matrix identifizieren damit Verknüpfung dimensionsmässig gesehen sinnvoll ist.

Solution:
Beweis. Man verwet die Definition der Differenzierbarkeit von f bei x_ womit gilt fx_+hfx_+textD_x_fh+alpha_fx_h und alpha_fx_ho||h|| für hrightarrow . Nach Differenzierbarkeit von g bei y_fx_ gilt ebenso gy_+overlinehgy_+textD_y_goverlineh+alpha_gy_overlineh mit alpha_gy_overlineho||overlineh|| für overlinehrightarrow . Gemeinsam erhält man für h in mathbbR^n klein genug und overlinehfx_+h-fx_textD_x_fh+alpha_fx_h die Gleichung gfx_+hgfx_+textD_y_textD_x_fhfh+alpha_fx_h+alpha_gy_overlineh gfx_+textD_y_galpha_fx_h+alpha_gy_fx_+h-fx_ gesetzt hat. Man möchte nun zeigen dass alpha_g circ fx_ho||h|| für h rightarrow . Da alpha_fx_ho||h|| für h rightarrow gilt ist auch ||textD_y_galpha_fx_h||leq ||textD_y_g||_op||alpha_fx_h||o||h|| für h rightarrow . Es bleibt zu zeigen dass alpha_gy_fx_+h-fx_o||h|| für h rightarrow ist. Nach Differenzierbarkeit von g bei y_ gibt es zu jedem epsilon ein delta s.d. für overlineh in mathbbR^m mit ||overlineh|| delta die Abschätzung ||alpha_gy_overlineh|| leq epsilon ||overlineh|| gilt. Nach vorrausgesetzer Differenzierbarkeit von f bei x_ gilt für overlinehfx_+h-fx die Abschätzung ||overlineh|| ||textD_x_fh+alpha_fx_h|| &leq ||textD_x_fh||+||alpha_fx_h|| &leq ||textD_x_f||_op||h||+o||h|| O||h|| für h rightarrow . Also gibt es eine offene Umgebung O von in mathbbR^n und die Konstante C z.B. C||textD_x_f||_op+ mit ||overlineh||leq C||h|| für alle h in O. Für h in O mit ||h|| fracdeltaC folgt also ||overlineh|| delta und mit auch ||alpha_gy_fx_+h-fx_|| leq epsilon ||overlineh|| leq Cepsilon ||h|| Da die Konstante C von epsilon unabhängig ist folgt die Differenzierbarkeit von g circ f bei x_ und die Kettenregel in Gleichung oben.