Charakterisierungen der Stetigkeit
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Exercise:
Seien XY zwei metrische Räume und f:Xrightarrow Y eine Funktion. Dann sind folge Bedingungen äquivalent: abcliste abc Die Funktion f ist stetig. abc Für jedes xin X ist f bei x epsilon-delta-stetig. abc Für jedes xin X ist f bei x folgenstetig. abc Für jedes xin X und für jede Umgebung Usubseteq Y von fx ist f^-U eine Umgebung von x. abc Für jede offene Teilmenge Osubseteq Y ist f^-O eine offene Teilmenge von X. abc Für jede abgeschlossene Teilmenge Asubseteq Y ist f^-A eine abgeschlossene Teilmenge von X. abcliste
Solution:
Beweis. Die Äquivalenz von abcd ist gerade der Inhalt von Proposition .. Es bleibt also noch die Äquivalenz von e und f zu Stetigkeit zu beweisen. Sei f stetig und Osubseteq Y offen. Für xin f^-O ist fxin O und da O offen ist ist O eine Umgebung von fx. Also ist nach d f^-O eine Umgebung von x womit ein delta existiert mit B_deltaxsubseteq f^-O. Da aber xin f^-O beliebig war ist f^-O also offen. Dies beweist dLongrightarrow e. Angenommen f erfüllt die Bedingung in e. Sei x_in X und epsilon . Man weiss dass das Urbild f^-B_epsilonfx_subseteq X den Punkt x_ enthält und offen ist da der Ball B_epsilonfx_ in Y offen ist. Also existiert ein delta mit B_deltafx_subseteq f^-B_epsilonfx_ oder äquivalenterweise fB_deltafx_subseteq B_epsilonfx_. Also ist f bei x_ epsilon-delta-stetig was die Implikation dLongrightarrow a beweist. Die Äquivalenz von e und f ergibt sich aus den Eigenschaften von Urbildern und der Dualität von offenen und abgeschlossenen Mengen via Komplmentoperation: Falls f^-O für jede offene Menge Osubseteq Y offen ist und Asubseteq Y abgeschlossen ist dann ist f^-AXbackslash f^-Ybackslash A abgeschlossen. Falls f^-A für jede abgeschlossene Menge Asubseteq Y abgeschlossen ist und Osubseteq Y offen ist dann ist f^-OXbackslash f^-Ybackslash O offen.
Seien XY zwei metrische Räume und f:Xrightarrow Y eine Funktion. Dann sind folge Bedingungen äquivalent: abcliste abc Die Funktion f ist stetig. abc Für jedes xin X ist f bei x epsilon-delta-stetig. abc Für jedes xin X ist f bei x folgenstetig. abc Für jedes xin X und für jede Umgebung Usubseteq Y von fx ist f^-U eine Umgebung von x. abc Für jede offene Teilmenge Osubseteq Y ist f^-O eine offene Teilmenge von X. abc Für jede abgeschlossene Teilmenge Asubseteq Y ist f^-A eine abgeschlossene Teilmenge von X. abcliste
Solution:
Beweis. Die Äquivalenz von abcd ist gerade der Inhalt von Proposition .. Es bleibt also noch die Äquivalenz von e und f zu Stetigkeit zu beweisen. Sei f stetig und Osubseteq Y offen. Für xin f^-O ist fxin O und da O offen ist ist O eine Umgebung von fx. Also ist nach d f^-O eine Umgebung von x womit ein delta existiert mit B_deltaxsubseteq f^-O. Da aber xin f^-O beliebig war ist f^-O also offen. Dies beweist dLongrightarrow e. Angenommen f erfüllt die Bedingung in e. Sei x_in X und epsilon . Man weiss dass das Urbild f^-B_epsilonfx_subseteq X den Punkt x_ enthält und offen ist da der Ball B_epsilonfx_ in Y offen ist. Also existiert ein delta mit B_deltafx_subseteq f^-B_epsilonfx_ oder äquivalenterweise fB_deltafx_subseteq B_epsilonfx_. Also ist f bei x_ epsilon-delta-stetig was die Implikation dLongrightarrow a beweist. Die Äquivalenz von e und f ergibt sich aus den Eigenschaften von Urbildern und der Dualität von offenen und abgeschlossenen Mengen via Komplmentoperation: Falls f^-O für jede offene Menge Osubseteq Y offen ist und Asubseteq Y abgeschlossen ist dann ist f^-AXbackslash f^-Ybackslash A abgeschlossen. Falls f^-A für jede abgeschlossene Menge Asubseteq Y abgeschlossen ist und Osubseteq Y offen ist dann ist f^-OXbackslash f^-Ybackslash O offen.