Topologie Schnitt/Vereinigung
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Exercise:
Sei X ein metrischer Raum. Dann gilt itemize item Der Durchschnitt lich vieler offener Teilmengen von X ist offen. item Der Vereinigung beliebig vieler offener Teilmengen von X ist offen. item Der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener Teilmengen von X ist offen. item Der Vereinigung lich vieler abgeschlossener Teilmengen von X ist offen. itemize
Solution:
Beweis. Seien O_...O_n subseteq X offen und sei xin bigcap_k^n O_k. Dann gibt es für jedes kin ...n einen Radius epsilon_k mit B_epsilon_kxsubseteq O_k da x in O_k liegt und O_k offen ist per Annahme. Für den Radius epsilon textmin_k...nepsilon_k gilt nun B_epsilonsubseteq bigcap_k^n O_k. Da xin bigcap_k^n O_k beliebig ist schliesst man dass bigcap_k^n O_k offen ist. Sei nun mathcalI eine beliebige Menge und für jedes alpha in mathcalI eine offene Teilmenge O_alpha von X gegeben. Für jedes xin bigcup_alpha in mathcalI O_alpha existiert ein beta in mathcalI mit xin O_beta. Da O_betasubseteq X per Annahme offen ist existiert ein Radius epsilon mit B_epsilonxsubseteq O_betasubseteq bigcup_alpha in mathcalIO_alpha. Dies beweist dass bigcup_alpha in mathcalIO_alpha offen ist. Die beiden Aussagen über abgeschlossene Teilmengen ergeben sich nun aus den ersten zwei Punkten und den Gesetzen von De Morgan. Sind beispielsweise A_...A_nsubseteq X abgeschlossen dann ist für jedes kin ...n die Teilmenge O_kXbackslash A_k offen und somit ist nach dem ersten Punkt bigcap_k^nO_k offen. Also ist Xbackslashbigcap_k^nO_kbigcup_k^nA_k abgeschlossen.
Sei X ein metrischer Raum. Dann gilt itemize item Der Durchschnitt lich vieler offener Teilmengen von X ist offen. item Der Vereinigung beliebig vieler offener Teilmengen von X ist offen. item Der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener Teilmengen von X ist offen. item Der Vereinigung lich vieler abgeschlossener Teilmengen von X ist offen. itemize
Solution:
Beweis. Seien O_...O_n subseteq X offen und sei xin bigcap_k^n O_k. Dann gibt es für jedes kin ...n einen Radius epsilon_k mit B_epsilon_kxsubseteq O_k da x in O_k liegt und O_k offen ist per Annahme. Für den Radius epsilon textmin_k...nepsilon_k gilt nun B_epsilonsubseteq bigcap_k^n O_k. Da xin bigcap_k^n O_k beliebig ist schliesst man dass bigcap_k^n O_k offen ist. Sei nun mathcalI eine beliebige Menge und für jedes alpha in mathcalI eine offene Teilmenge O_alpha von X gegeben. Für jedes xin bigcup_alpha in mathcalI O_alpha existiert ein beta in mathcalI mit xin O_beta. Da O_betasubseteq X per Annahme offen ist existiert ein Radius epsilon mit B_epsilonxsubseteq O_betasubseteq bigcup_alpha in mathcalIO_alpha. Dies beweist dass bigcup_alpha in mathcalIO_alpha offen ist. Die beiden Aussagen über abgeschlossene Teilmengen ergeben sich nun aus den ersten zwei Punkten und den Gesetzen von De Morgan. Sind beispielsweise A_...A_nsubseteq X abgeschlossen dann ist für jedes kin ...n die Teilmenge O_kXbackslash A_k offen und somit ist nach dem ersten Punkt bigcap_k^nO_k offen. Also ist Xbackslashbigcap_k^nO_kbigcup_k^nA_k abgeschlossen.