Exercise:
Sei Usubseteq mathbbR^n eine offene Teilmenge und Mxin U| Fx eine k-dimensionale Teilmannigfaltigkeit gegeben als Niveaumenge durch eine glatte Funktion F:Urightarrow mathbbR^n-k mit regulärem Wert siehe Theorem .. Sei f:Urightarrow mathbbR eine differenzierbare Funktion für die f|_M in pin M ein lokales Extremum annimt und sei L die zu M und f gehörige LagrangFunktion. Dann existieren LagrangMultiplikatoren lambda in mathbbR^n-k so dass die Gleichungen partial_x_iLxlambdaquad partial_lambda_jLplambda für alle iin ...n und jin ...n-k erfüllt sind. Dabei ist zu xlambdain Utimes mathbbR^n-k partial_x_iLxlambdapartial_ifx-_j^n-klambda_jpartial_iF_jxquad partial_lambda_jLxlambda-F_jx für iin ...n und jin ...n-k.

Solution:
Beweis. Die Gleichungen partial_lambda_jLxlambda-F_jx für j...n-k folgen direkt aus der Definition von L womit die Gleichungen partial_lambda_jLxlambda für j...n-k auf Grund der Definition von M gelten. Die Beschreibung von partial_x_iLxlambda für i...n in folgt ebenso direkt aus der Definition der Lagrange Funktion. Betrachtet man diese gemeinsam so erhält man eine Umformulierung der zu beweisen Behauptung: man will zeigen dass nabla fp eine Linearkombination der Vektoren nabla F_p...nabla F_n-kp ist wobei die Lagrange Multiplikatoren die Koeffizienten der Linearkombination darstellen. Man beobachetet zuerst dass textD_pF_nabla F_p^t...textD_pF_n-knabla F_n-kp^t die Zeilen der Matrix textD_pF sind welche nach Annahme an F linear unabhängig sind. Nach Satz . gilt somit textT_pMpvin textT_pmathbbR^n| textD_pFv pvin textT_pmathbbR^n| langlenabla F_jpvrangle forall ...n-k Also sind die Vektoren nabla F_p...nabla F_n-kp Normalenvektoren an M bei p. Wegen linearer Unabhängigkeit und textdimtextT_pM^perpn-k lässt sich nun jeder Normalenvektor als Linearkombination dieser Vektoren schreiben. Nach Proposition . ist nabla fp ein Normalenvektor und das Korollar folgt.