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Exercise:
Sei Usubseteq mathbbR^n offen und f:Urightarrow mathbbR^m eine Funktion. Dann ist f genau dann bei x_in U differenzierbar wenn die Komponenten f_kpi_kcirc f für jedes kin ...m bei x_ differenzierbar sind. In diesem Fall gilt textD_x_f pmatrix textD_x_f_ vdots textD_x_f_m pmatrix.

Solution:
Beweis. Es wird nur eine Implikation bewiesen andere ist Übung. Angenommen f_k ist für jedes kin ...m bei x_ differenzierbar. Dann gilt für kin ...m f_kx_+hf_kx_+textD_x_f_kh+alpha_kx_h für gewisse Funktionen alpha_k mit alpha_kx_ho||h|| für hrightarrow . Daraus folgt aber fx_+h pmatrix f_x_+h vdots f_mx_+h pmatrix pmatrix f_x_ vdots f_mx_ pmatrix + pmatrix textD_x_f_ vdots textD_x_f_m pmatrixh + alphax_h wobei alphax_h pmatrix alpha_x_+h vdots alpha_mx_+h pmatrix o||h|| für hrightarrow gilt. Also ist f differenzierbar und es gilt die behauptete Formel für textD_x_f.
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Sei Usubseteq mathbbR^n offen und f:Urightarrow mathbbR^m eine Funktion. Dann ist f genau dann bei x_in U differenzierbar wenn die Komponenten f_kpi_kcirc f für jedes kin ...m bei x_ differenzierbar sind. In diesem Fall gilt textD_x_f pmatrix textD_x_f_ vdots textD_x_f_m pmatrix.

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Beweis. Es wird nur eine Implikation bewiesen andere ist Übung. Angenommen f_k ist für jedes kin ...m bei x_ differenzierbar. Dann gilt für kin ...m f_kx_+hf_kx_+textD_x_f_kh+alpha_kx_h für gewisse Funktionen alpha_k mit alpha_kx_ho||h|| für hrightarrow . Daraus folgt aber fx_+h pmatrix f_x_+h vdots f_mx_+h pmatrix pmatrix f_x_ vdots f_mx_ pmatrix + pmatrix textD_x_f_ vdots textD_x_f_m pmatrixh + alphax_h wobei alphax_h pmatrix alpha_x_+h vdots alpha_mx_+h pmatrix o||h|| für hrightarrow gilt. Also ist f differenzierbar und es gilt die behauptete Formel für textD_x_f.
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Attributes & Decorations
Tags
analysis, beweis, differentialrechnung, eth, fs23, proof
Difficulty
(3, default)
Points
0 (default)
Language
GER (Deutsch)
Type
Proof
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