Lokale Lipschitz-Stetigkeit und stetige Differenzierbarkeit
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Exercise:
Sei Usubseteq mathbbR^n offen und sei f:Urightarrow mathbbR^m eine stetig differenzierbare Funktion. Dann ist f lokal Lipschitz-stetig. Falls U zusätzlich konvex und die Ableitung beschränkt ist dann ist f sogar Lipschitz-stetig.
Solution:
Beweis. Es genügt den Fall m zu betrachten. Man nimmt zuerst an dass U konvex ist und die Ableitung beschränkt ist. Letzteres bedeutet dass es ein Mgeq gibt so dass ||textD_xif||_textopleq M für xi in U. Aus dem MWS Satz . folgt damit für xyin U ||fx-fy||||textD_xifx-y||leq M||x-y|| für ein xi in U da U konvex ist und somit das Geradenstück zwischen x und y enthält. Dies beweist die zweite Aussage im Korollar. Die erste Aussage folgt aus der zweiten angewet auf den Ball U_B_epsilonx_ und f_f|_U_ wobei epsilon so gewählt ist dass overlineB_epsilonx_subseteq U. In der Tat ist dann U_ konvex und die Abbildung xi in overlineB_epsilonx_mapsto D_xif ist als stetige Funktion auf der kompakten Menge overlineB_epsilonx_ Satz . beschränkt was die Beschränktheit von der Ableitung auf overlineB_epsilonx_ impliziert.
Sei Usubseteq mathbbR^n offen und sei f:Urightarrow mathbbR^m eine stetig differenzierbare Funktion. Dann ist f lokal Lipschitz-stetig. Falls U zusätzlich konvex und die Ableitung beschränkt ist dann ist f sogar Lipschitz-stetig.
Solution:
Beweis. Es genügt den Fall m zu betrachten. Man nimmt zuerst an dass U konvex ist und die Ableitung beschränkt ist. Letzteres bedeutet dass es ein Mgeq gibt so dass ||textD_xif||_textopleq M für xi in U. Aus dem MWS Satz . folgt damit für xyin U ||fx-fy||||textD_xifx-y||leq M||x-y|| für ein xi in U da U konvex ist und somit das Geradenstück zwischen x und y enthält. Dies beweist die zweite Aussage im Korollar. Die erste Aussage folgt aus der zweiten angewet auf den Ball U_B_epsilonx_ und f_f|_U_ wobei epsilon so gewählt ist dass overlineB_epsilonx_subseteq U. In der Tat ist dann U_ konvex und die Abbildung xi in overlineB_epsilonx_mapsto D_xif ist als stetige Funktion auf der kompakten Menge overlineB_epsilonx_ Satz . beschränkt was die Beschränktheit von der Ableitung auf overlineB_epsilonx_ impliziert.