Exercise:
Auf der x-Achse befinden sich an den Stellen m und m zwei gleiche Ser welche Wellen mit einer Wellenlänge von cm bei einer Frequenz von Hz einander entgegen strahlen. Der Ser bei m strahlt zur Zeit s ein Maximum ab. Die Welle vom Ser bei m hat zur Zeit s an der Stelle m ein Wellental. Berechne die Lage der Schwingungsknoten auf der x-Achse.

Solution:
Für beide Wellen gilt gleiche Wellenzahl gleiche Frequenz: al omega Wf pif W k kf fracpiL k Die erste Welle läuft nach rechts Rightarrow omega t - kx und sie hat beim Nullpunkt x anfänglich t ein Maximum deshalb sieht sie formal wie folgt aus: al u_rightarrowxt hat u cosomega t - kx Die zweite Welle läuft nach links Rightarrow omega t + kx aber ihre genaue Phase wo Maximas sind ist noch unbekannt was wir mit phi ausdrücken: al u_leftarrowxt hat u cosomega t + kx + phi Die Anfangsphase phi lässt sich aus der Bedingung dass am Ort x_ xo zum Zeitpunkt t_ to ein Wellental ist bestimmen. Dann gilt nämlich al cosomega t_ + kx_ + phi &mustbe - und damit al omega t_ + kx_ + phi n+pi quad n in mathbbZ phi_n n+pi - omega t_ - kx_. O.B.d.A. erhalten wir mit n für die Anfangsphase al phi_ phiof pi - Wto - kxo phioTTTT phiopiTTTT pi Weil Winkelfunktionen pi-periodisch sind können wir geradzahlige Vielfache von pi dazu addieren oder weg subtrahieren. Damit können wir phi pi festlegen. Zusammengefasst sehen also die beiden Wellen formal so aus: Highlight u_rightarrowxt hat u cosomega t - kx u_leftarrowxt hat u cosomega t + kx + pi Ihre Überlagerung findet man mit den Additionstheoremen für Winkelfunktionen: al cos x + cos y cosfracx+ycosfracx-y u_+ u_rightarrowxt + u_leftarrowxt hat u cosfracomega t + pi cosfrackx+pi Knoten liegen dort vor wo u_+ quad forall t; die Bedingung dafür lautet: cosfrackx+pi &mustbe kx+fracpi n+fracpi qquad n in mathbbZ kx nfracpi fracpilambda x npi x nfraclambda Der erste Schwingungsknoten ist somit gerade bei m und danach wieder nach jeder halben Wellenlänge d.h. cm. medskip bf Alternative Sicht: Bei Schwingungsknoten liegt destruktive Interferenz vor d.h. die Phasifferenz muss ein ungeradzahliges Vielfaches von pi sein. Damit erhalten wir die Lage der Schwingungsknoten: al Delta phi omega t + kx + phi - omega t + kx n+pi kx + pi x_n fracn pik n fraclambda n in mathbbN.