Kugel
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Exercise:
Eine Kugel rollt aus dem Ruhezustand längs einer schiefen Ebene vom Neigungswinkel theta abwärts. Wie gross ist die Geschwindigkeit ihres Mittelpunktes an einer Stelle welche um Delta h tiefer liegt? Der Koeffizient der rollen Reibung ist als bekannt vorausgesetzt; es kann nicht von einer schlupffreien Bewegung ausgegangen werden.
Solution:
Für die Translationsbewegung entlang der schiefen Ebene gilt: ma F F_parallel - FR mg sheta - mu mg costheta a g sheta-mu costheta Für die Rotationsbewegung hervorgerufen durch das Drehmoment welches von der Reibung erzeugt wird gilt: alpha fracMJ fracr FRfrac mr^ fracr mu mgcos thetafrac mr^ fracmu costheta fracgr Da nicht von einer schlupffreien Bewegung ausgegangen werden darf also aralpha nicht gilt folgt für die Geschwindigkeit an einer Stelle welche um Delta h tiefer liegt: v tilde a t tilde a sqrtfracstilde a sqrttilde a s sqrt a+ralpha s Nun ersetzen wir die Strecke s welche die Kugel entlang der Ebene zurückgelegt hat durch die dabei verlorene Höhe Delta h: v sqrt a+ralpha fracDelta hsheta sqrt gleftsheta-mu costheta+ fracmu costhetaright fracDelta hsheta sqrt gleftsheta+ fracmu costhetaright fracDelta hsheta sqrtgDelta h left+ fracmutanthetaright
Eine Kugel rollt aus dem Ruhezustand längs einer schiefen Ebene vom Neigungswinkel theta abwärts. Wie gross ist die Geschwindigkeit ihres Mittelpunktes an einer Stelle welche um Delta h tiefer liegt? Der Koeffizient der rollen Reibung ist als bekannt vorausgesetzt; es kann nicht von einer schlupffreien Bewegung ausgegangen werden.
Solution:
Für die Translationsbewegung entlang der schiefen Ebene gilt: ma F F_parallel - FR mg sheta - mu mg costheta a g sheta-mu costheta Für die Rotationsbewegung hervorgerufen durch das Drehmoment welches von der Reibung erzeugt wird gilt: alpha fracMJ fracr FRfrac mr^ fracr mu mgcos thetafrac mr^ fracmu costheta fracgr Da nicht von einer schlupffreien Bewegung ausgegangen werden darf also aralpha nicht gilt folgt für die Geschwindigkeit an einer Stelle welche um Delta h tiefer liegt: v tilde a t tilde a sqrtfracstilde a sqrttilde a s sqrt a+ralpha s Nun ersetzen wir die Strecke s welche die Kugel entlang der Ebene zurückgelegt hat durch die dabei verlorene Höhe Delta h: v sqrt a+ralpha fracDelta hsheta sqrt gleftsheta-mu costheta+ fracmu costhetaright fracDelta hsheta sqrt gleftsheta+ fracmu costhetaright fracDelta hsheta sqrtgDelta h left+ fracmutanthetaright