Exercise:
Mit welchem Abwurfwinkel erreicht man die grösste Reichweite beim Ballweitwurf falls Abwurf- und Auftreffpunkt nicht auf derselben Höhe liegen?

Solution:
Die Flugzeit bis zum Scheitel beträgt t_ fracv_yg fracv_sinalphag jene bis zum Boden egal ob höher oder tiefer aufgrund des Energieerhaltungssatzes: t_ fracv_yg fracg sqrtgh+v_^sin^alpha Die Reichweite ist also: s_xalpha v_x t v_x t_+t_ v_cosalpha leftfracv_sinalphag + fracg sqrtgh+v_^sin^alpharight fracv_^gcosalpha leftsinalpha + sqrtfracghv_^+sin^alpharight tilde salpha cosalpha leftsinalpha + sqrtkappa+sin^alpharight Man sucht das Maximum dieser Funktion von alpha: fracddddalphas_xalpha &mustbe s_x'alpha cosalphaleftcosalpha + fracsinalphacosalphasqrtkappa+sin^alpharight - sinalpha leftsinalpha + sqrtkappa+sin^alpharight cos^alphaleft + fracsinalphaLambdaright - sinalpha leftsinalpha + Lambdaright Das führt auf folge Bedingung: &mustbe cos^alphaLambda + sinalpha - Lambda sinalpha sinalpha + Lambda Lambda + sinalphacos^alpha - Lambda sinalpha Nur der zweite Faktor in diesem Produkt kann verschwinden daher gilt für den Winkel: cos^alpha Lambda sinalpha cos^alpha sqrtkappa+sin^alpha sinalpha -sin^alpha^ kappa+sin^alpha sin^alpha sin^alpha leftkappa + right alpha arcsinfracv_sqrtgh+v_^ Da ausserdem für die Endgeschwindigkeit v^ v_x^ + v_y^ v_^cos^alpha + gh+v_^sin^alpha v_^ + gh gilt kann man für den Winkel alpha auch alpha arcsinfracv_sqrtgh+v_^ arcsinfracv_sqrtv^ + v_^ schreiben. Das heisst also dass v_ eine Kathete und sqrtv^ + v_^ eine Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck sind. Die Anfangsgeschwindigkeit v_ und die Endgeschwindigkeit v bilden also -- falls im Winkel mit der maximalen Reichweite abgeschossen wird -- ein rechtwinkliges Dreieck! Es gilt also tanalpha fracv_v was aber für die Berechnung nicht sonderlich hilfreich ist weil man ja die Endgeschwindigkeit v nicht kennt. Veranschaulicht man die Geschwindigkeitsvektoren in einer Skizze so sieht das so aus: center tikzpicturelatex scope drawcolorgreen!!black dashed ---; coordinate O at ; coordinate A at O+:cm; coordinate B at O+-:.cm; filldrawcolorred fillred!!white --. arc ::.; nodered at :. alpha; filldrawcolorred fillred!!white B--B+. arc ::.; nodered at B+:. alpha; drawred thick - O--A nodemidway above left v_; drawblue thick - O--B nodemidway below left v; drawdashed A--B; draw O circle .cm; draw A circle .cm; draw B circle .cm; scope tikzpicture center